Elastizitt 



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das verallgemeinerte Hookesche Gesetz. 

 Die Proportionalittsfaktoren nennt man 

 im allgemeinen Elastizittskonstanten. 

 Ihre Anzahl ist bei dem allgemeinsten aniso- 

 tropen Krper (bei einem Kristall des tri- 

 klinischen Systems) 21, fr isotrope Krper, 

 d. h. fr Stoffe, bei welchen smtliche 

 Richtungen gleichwertig sind, kann ihre 

 Anzahl "nicht grer sein, als 2. Zwischen 

 diesen Grenzen liegen die verschiedenen 

 Kristallsysteme mit ihren verschiedenen 

 Symmetrieeigenschaften. 



Bei isotropen Krpern ist es zunchst ein- 

 zusehen, da ein Parallelepiped durch Normal- 

 spannungen keine Winkelnderung erfahren 

 kann. Denken wir z. B. einen Wrfel durch 

 zwei Normalkrfte auf Zug beansprucht, so 

 knnen diese offenbar keinen Schub zur 

 Folge haben, weil eine Druckspannung von 

 derselben Gre den entgegengesetzten Schub 

 bewirken wrde, und dies der Gleichwertig- 

 keit aller Richtungen widerspricht: es ist 

 gar nicht einzusehen, warum die Zugspan- 

 nung einen Schub gerade nach links, die 

 Druckspannung nach rechts hervorrufen 

 sollte, oder umgekehrt. Man kann sich in 

 dieser Weise berzeugen, da bei einem iso- 

 tropen Krper die Normalspannungen nur 

 Dehnungen und die Schubspannungen nur 

 Winkelnderungen hervorrufen knnen 

 (Hauptdehnungen und Hauptspannungen 

 fallen also der Richtung 

 Bercksichtigt man noch, 

 auf die Dehnung in der y- 

 z- Richtung denselben Einflu haben mu, so 

 gelangt man zu dem allgemeinen Anstze 



e x =a(X x -KY y +Z z )) 



e y = a(Y v -r(X x +Z z )) 



e z = a(Z z -r(X x +Y y )) 



y*y=Xy 



y yz =Y z 



yzx = Z x 

 Man nennt a den Dehnungskoeffizienten", 

 den Schiebungskoeffizienten". v ist die 

 sogenannte Poissonsche Verhltniszahl; sie 

 bestimmt nach dem Ansatz das Verhltnis 

 der Dehnungen, welche eine Zugspannung 

 in der Querrichtung und in der Lngs- 

 richtung; hervorruft. 



Man kann auerdem zeigen, da zwischen 

 den drei Konstanten eine universelle Re- 

 lation bestehen mu, so da die Anzahl der 

 unabhngigen Elastizittskoeffizienten sich 

 auf 2 reduziert. Betrachten wir z. B. (Fig. 7) 

 einen Wrfel von der Kantenlnge 1, der 

 in der x-Richtung auf Zug beansprucht wird, 

 so sind die drei Dehnungen 



f x = a X x 



e y = aX x 



z= ai'X x 

 d. h. der Wrfel von der Kantenlnge Eins 

 erfhrt eine Verlne;-crung um aX x in der 



Lngsrichtung und die v-fache Verkrzung 

 in den beiden Querrichtungen. Wir wollen 

 nun einen Schnitt AB durch die Diagonal- 

 flche durchlegen und die Spannungen und 

 Dehnungen auf das Achsenkreuz , Z be- 

 ziehen (s. Figur 7a). In der Flche AB tritt eine 



nach zusammen), 

 da eine x- Kraft 

 und auf die in der 



Fig. 7a. 



Fig. 7b. 



Normalspannung und eine Schubspannung auf, 

 die mit der Spannung X x im Gleichgewicht sein 

 mssen, da die Gleichgewichtsbedingung fr 

 beide Krperhlften erfllt sein mu. Daraus 

 folgt, da Normalspannung und Zugspannung, 

 die auf eine Flche von der Gre Jyzlz]'2 



wirken, den Betrag - x haben mssen. Was 



die Formnderung anbelangt so erfahren 

 die beiden Achsen *, Z eine Winkelnderung, 

 die proportional ist der Schubspannung, d. h. 



es mu gelten (s. Figur 7b) 



Andererseits kann man die Winkelnderung 

 geometrisch aus den Lngennderungen in 

 der x- und y-Richtung berechnen. Man 

 erhlt 



2fr=2l 



z< 



2 



45- 



arctg 



1+ 



x 



