Elastizitt 



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so wird 1 ) 



p=U+gA* 



Av 

 v 



der Faktor + o heit der Kompressi- 

 bilittsmodul K, der reziproke Wert des- 

 selben die Kompressibilitt k. 



Der Kompressibilittsmodul wird durch 

 Elastizittsmodul und Poissonsche Zahl in 



1 E 

 der Form K = ^ -z ~- ausgedrckt. Man fol- 

 o 1 zv 



gert daraus, da die Poissonsche Verhlt- 

 niszahl stefs zwischen den Grenzen und 0.5 

 hegt. Wre nmlich v> 0,5, so wrde K 

 negativ ausfallen, d. h. der Krper wrde bei 

 Zug sich zusammenziehen, bei Druck sich 

 ausdehnen, was der Erfahrung widerspricht. 

 5. Die Ziele der mathematischen Ela- 

 stizittstheorie. Durch Festsetzung der 

 Beziehungen zwischen Deformationsgren 

 und Spannungen ist die Mglichkeit ge- 

 geben, fr vorgeschriebene Belastungsver- 

 hltnisse die Deformation eines elastischen 

 Krpers zu berechnen. Diese ist vollstndig 

 bekannt, falls wir die Verschiebungen , 

 T], als Funktionen des Ortes angeben. Es 

 fragt sich nun, wie diese bestimmt 

 werden. Die einzige Bedingung, die wir 

 zu erfllen haben, ist die Gleichgewichts- 

 bedingung fr ein beliebiges Volum- 

 element. Genauer gesagt: durch die Ver- 

 schiebungen sind die Deformationsgren 

 gegeben, durch die Deformationsgren die 

 Spannungen und nun mssen die von den 

 Verschiebungen in dieser Weise abgeleiteten 

 Spannungen fr einen beliebigen Teil des 

 Krpers sich im Gleichgewicht befinden. 

 Da die Deformationsgren sich linear aus 

 den Ableitungen der Verschiebungen |, ?y, 

 zusammensetzen, die Spannungen laut des 

 Hookeschen Gesetzes lineare Funktionen 

 der Deformationsgren sind, so erhalten 

 wir als Gleichgewichtsbedingungen drei lineare 

 Differentialgleichungen fr die drei Funkti onen 

 , 1], , die diese mit Hilfe der zugehrigen 

 Randbedingungen vllig bestimmen. Bezg- 

 lich der Randbedingungen sind zwei Haupt- 

 flle zu unterscheiden: Zumeist sind ent- 

 weder die Verschiebungen an der Begrenzung 

 des Krpers (z. B. Stab mit festgehal- 

 tenen Enden) oder aber die Oberflchen- 

 krlte (z. B. ein Krper unter Flssigkeits- 

 druck) gegeben. In dem letzteren" Falle 

 mssen die Spannungen, falls wir uns der 

 Begrenzung nhern, in die vorgeschriebenen 

 Oberflchendrucke bergehen. In beiden 



Fllen reichen die Randbedingungen gerade 

 aus, die Verteilung der Deformationen und 

 Spannungen zu bestimmen. 



Man erhlt die Gleichgewichtsbedingungen 

 an dem Volumelement, falls man die Differenzen 

 der Spannungen an gegenberliegenden Seiten- 

 flchen vergleicht. Die Spannungskomponenten, 

 die eine Kraft nach der x-Richtung liefern, sind 

 X x , Xy, X z . Der Ueberschu dieser Spannungen 

 an den Flchen nach der wachsenden x-, y- und 

 z-Richtung betrgt offenbar 



Xx . Xy . Xz 



-jr ^x, -j-- Jy, ~Az; 

 x y " dz 



der Ueberschu an Kraft fr das ganze Volum- 

 element ist daher (wobei wir mit den betreffenden 

 Flchen multiplizieren) 



Xx , Xy X Z \ . . , 



x 



y 



z / 



Diese Kraft mu, falls keine rumlich verteilte 

 uere Kraft vorhanden ist, verschwinden, bei 

 Vorhandensein einer solchen von der Gre X, 

 Y, Z pro Volumeinheit der Kraft X Ax Ay z/z 

 das Gleichgewicht halten. 

 Es folgt daraus: 



X X , Xy Xz . 



x v z 







und entsprechend 



YxYyYz 



x ^ v ^ z ^ 



Zx . Zv , Zz 



x v z 



0. 



Im Falle der Bewegung sind die rechten 

 Seiten durch die Ausdrcke 



2 



2 ?] 2 ! 



t 2 ' Q t 2 



t 2 ' ' ? M2 ' * 



*) Die Volumnderung eines Wrfels von der 

 Kantenlnge a betrgt offenbar, falls jede Kante 

 die Dehnung s erfhrt Av = a 3 (l + ?) 3 a 3 , oder 



Av 

 angenhert Av = 3a 3 s, woraus - - = 3s folgt. 



zu ersetzen, wobei q die Masse der Volumeinheit 

 (Dichte), 



2 | 2 ^ 2 



F' "F t 2 



die Komponenten der Beschleunigung in dem 

 betreffenden Punkte bezeichnen. 



Fhrt man in diese drei Gleichungen das 

 Hookesche Gesetz fr die Spannungen, ferner 

 in das Hookesche Gesetz die Ausdrcke fr die 

 Formnderungsgren ein, so erhlt man drei 

 lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 

 fr g, 7], . Man bezeichnet sie als Grund- 

 gleichungen der Elastizittstheorie". 



Durch die Lsung der Grundgleichungen 

 erhlt man allerdings die Spannungen nur 

 in dem Falle richtig, wenn der Krper span- 

 nungslos ist, solange keine ueren Krfte 

 auf ihn wirken. Dies ist aber oft nicht zu- 

 treffend. Man kann z. B. einen geschlossenen 

 Metallring aufschneiden, einen Sektor aus 

 ihm herausschneiden, und die beiden 

 Enden wieder zusammenlten: der so 

 gewonnene Krper ist offenbar auch ohne 

 Einwirkung von irgendwelchen ueren 

 Krften in einem bestimmten Span- 

 nungszustande. Es sind Anfangsspannun- 



