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Elastizitt 



gen" vorhanden. Wird der Krper be- 

 lastet, so gibt die Lsung der elastischen 

 Grundgleichungen nur die zustzlichen" 

 Spannungen. Ebenso werden bei Metall- 

 krpern, die aus der Schmelze durch rasche 

 Abkhlung fest geworden sind, stets innere 

 Spannungen vorhanden sein, denen man 

 sehr schwer Rechnung tragen kann. Man 

 kann die inneren Spannungen dadurch 

 konstatieren, da, falls man einen solchen 

 Krper zerschneidet, die beiden Teile im 

 allgemeinen nicht mehr zueinander passen. 

 6. Formnderungsarbeit. Minimal- 

 prinzipe. Man kann die Bestimmung des 

 elastischen Gleichgewichts auf ein allge- 

 meines energetisches Prinzip zurckfhren, 

 wenn man die Arbeit, die bei der elastischen 

 Deformation eines Krpers geleistet wird, 

 als eine Art potentieller Energie des Krpers 

 auffat Diese Arbeitsmenge reprsentiert 

 infolge der Reversibilitt der Deformation 

 in der Tat eine in dem Krper aufgespei- 

 cherte Arbeitsfhigkeit, die man als Defor- 

 mationsenergie (Formnderungsener- 

 gie) bezeichnet. Betrachtet man nun den 

 elastischen Krper und die angreifenden 

 ueren Krfte als ein abgeschlossenes 

 System, so ist das Gleichgewicht offen- 

 bar durch das Minimum der potentiellen 

 Energie des Gesamtsystems bestimmt. 

 Die Deformation erfolgt in der Weise, da 

 die Formnderungsenergie des elastischen 

 Krpers, vermindert um die Arbeitsfhig- 

 keit, die die Krfte durch Verschiebung 

 ihrer Angriffspunkte einben, mglichst 

 klein ausfllt. Da die Arbeitsleistung der 

 ueren Krfte bei Verschiebung ihrer An- 

 griffspunkte als Verminderung der poten- 

 tiellen Energie des Gesamtsystems anzu- 

 sehen ist, erkennt man am einfachsten, 

 falls man als uere Krfte Gewichte an- 

 bringt. Wird z. B. ein Stab durch ein Ge- 

 wicht gebogen, so ist die Durchsenkung 

 des Gewichtes offenbar eine Verminderung 

 der potentiellen Energie desselben, da es 

 vom hheren Niveau zu einem niedrigeren 

 gesunken ist. Die bei der Biegung geleistete 

 Formnderungsarbeit gilt dagegen als Zu- 

 nahme der potentiellen Energie, da da- 

 durch eine Arbeitsfhigkeit im Krper auf- 

 gespeichert wurde : wird die Belastung 

 langsam aufgehoben, so ist der Krper in 

 der Tat imstande, eine gewisse Arbeit zu 

 leisten. Nach unserem Prinzip wird das 

 Gewicht den Stab nur soweit durchbiegen, 

 bis die Zunahme der Formnderungsarbeit 

 strker wird als die Abnahme der poten- 

 tiellen Energie durch das Sinken des Ge- 

 wichtes. 1 ) 



Man kann zeigen, da fr einen iso- 

 tropen Krper, fr den das Hookesche 

 Gesetz gilt, die bei der Deformation ge- 

 leistete Arbeit pro Volumeinheit (Energie- 

 dichte) 



W = -2(X X X +Yyy+Z z f z +Xyyxy + 



Y z y yz + Z x y zx ) 

 betrgt. Man nennt diesen Ausdruck 

 auch elastisches Potential, mit Rcksicht 

 darauf, da die Spannungen als Ablei- 

 tungen dieser Gre nach den Deformations- 

 gren sich darstellen lassen. 



Das Prinzip vom Minimum der poten- 

 tiellen Energie ist vielfach benutzt worden, 

 fr spezielle Flle einfache Rechnungsver- 

 fahren herzuleiten. Besondere Beachtung 

 verdient die Anwendung des Prinzipes in 

 den Fllen, wo mehrere Gleichgewichtsge- 

 stalten mglich sind und es um die Entschei- 

 dung sich handelt, welche dieser Gleich- 

 gewichtsgestalten stabil ist. Die stabile 

 Gleichgewichtskonfiguration mu nach be- 

 kannten Grundstzen die kleinste poten- 

 tielle Energie besitzen (vgl. II, 5). 



II. Elastizitt von Stben und Fden. 



Die in den vorliegenden Nummern pr- 

 zisierte mathematische Aufgabe kann nur 

 in einzelnen einfachen Fllen in exakter 

 Weise gelst werden, so da man sich zu- 

 meist mit angenherten Lsungen be- 

 gngt. Einfache Lsungen erhlt man 

 insbesondere fr solche Krper, bei denen 

 eine oder mehrere Dimensionen klein sind 

 gegen die anderen, wie z. B. fr dnne 

 Platten und insbesondere fr dnne 

 Stbe. Diesen Fllen kommt von zwei 

 Gesichtspunkten aus eine besondere Be- 

 deutung zu. Einerseits sind an Bauwerken 

 oder Maschinen zumeist gerade jene Kon- 

 struktionsteile der Bruchgefahr am meisten 

 ausgesetzt, die als solche Stbe oder Platten 

 betrachtet werden knnen, so da diese 

 Annherungslsungen fr die technische 

 Festigkeitslehre fast vollkommen ausreichen 

 (vgl. den Artikel Festigkeit"). Anderer- 



: ) Man wre zunchst geneigt zu glauben, da 

 die beiden Arbeitsmengen stets gleich sind, da 

 der Stab doch durch die uere Kraft deformiert 



wurde. Es ist indessen zu beachten, da der Stab 

 als potentielle (Formnderungs-) Energie nur 

 jene Arbeit aufnimmt, die geleistet wird, falls 

 dqr Stab durch sukzessiv wachsende Gewichte 

 belastet wird, d. h. falls die Belastung bei jeder 

 Durchbiegung so viel betrgt, wie nach dem 

 Ho oke sehen Gesetz gerade ausreicht, die De- 

 formation hervorzurufen. Dies uert sich darin, 

 da ein pltzlich durch das volle Gewicht be- 

 lasteter Stab in Schwingungen gert. Man kann 

 leicht nachrechnen, da im Gleichgewichts- 

 zustnde die Formnderungsenergie des Stabes 

 nicht gleich Gewicht x Weg ist, sondern genau 

 die Hlfte dieser Gre. 



