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Elastizitt 



Weise durch den Krmmungsradius aus- 

 gedrckt, den die Zentrallinie des gebogenen 

 Stabes annimmt. Die ueren Fasern 

 werden offenbar gezogen, die dem Krm- 

 mungsmittelpunkte zugewendeten gedrckt. 

 Es gibt also eine Schicht, die keine Dehnung 

 erfhrt; sie heit die neutrale Schicht". 

 Wird der Krmmungsradius einer Faser in der 

 neutralen Schicht mit R bezeichnet und 



Fig. 10. 



die Verlngerung einer beliebigen Faser von 

 der Lnge 1 in der Entfernung z von der 

 neutralen Schicht mit A 1, so besteht die 

 Relation 



P'Q' _ 1+zJl R+z 



PQ 



I 



R 



Die spezifische Dehnung wird daher 

 _A\_ z 



Man erhlt daraus fr die Spannung den 

 Ausdruck 



Xx= R- 



Wenn wir den Stab durch den Schnitt ABCD 

 in zwei Teile zerlegt denken, so mssen offen- 

 bar beide Teile im Gleichgewicht sein, d. h. 

 die Spannungen X x mssen den ueren 

 Krften, die z. B. links vom Querschnitt 

 angreifen, das Gleichgewicht halten. Bei 

 gleichfrmiger Biegung durch zwei entgegen- 

 gesetzte Momente haben wir keine resul- 

 tierende Kraft, nur das Moment Mi,. Man 

 hat daher Gleichgewicht, falls die Resul- 

 tierende der Spannungen verschwindet und 

 ihr resultierendes Moment gleich Mi, wird: 



/ /X x dydz.z = M b . 



Setzt man den Wert 



i; 



E 



ein, so liefert die erste Gleichung offenbar die 

 Bedingung, da die neutrale Schicht durch 

 den Schwerpunkt geht. Die Zentrallinie bleibt 

 also ungedehnt. Die zweite Gleichung liefert 

 eine Beziehung zwischen dem Biegungs- 

 moment und der Krmmung 1/R 



M b =^E.r/Wydz. 



Das Integral /j'z 2 dydz gibt die Summe aller 

 Flchenelemente, multipliziert mit dem Qua- 

 drat der Entfernung von der y-Achse. Diese 

 Achse heit die neutrale Achse" oder 

 Schwerpunktsachse". Die erwhnte Summe 

 wird als Trgheitsmoment J des Querschnitr 

 tes in beziig auf diese Achse bezeichnet. 

 Man hat daher als Grundgleichung der 

 Biegung 



M h = 



JE 

 R' 



ffx x dydz = 



(> 



d. h. die Krmmung ist proportional dem 

 Biegungsmoment und umgekehrt proportional 

 dem Trgheitsmoment des Querschnittes und 

 dem Elastizittsmodul. Das Produkt JE 

 wird auch Biegungssteifigkeit" genannt. 



Die soeben abgeleitete einfache Beziehung 

 gilt in allen Fllen, in denen das Biegungsmoment 

 um eine sogenannte Haupttrgheitsachse des 

 Querschnittes wirkt. Zieht man beliebige Gerade 

 durch den Schwerpunkt und vergleicht die zu- 

 gehrigen Trgheitsmomente, so gibt es zwei 

 aufeinander senkrechte Richtungen, die das 

 grte und kleinste Trgheitsmoment liefern. 

 Diese Geraden heien die Haupttrgheitsachsen. 

 Solange das Biegungsmoment um eine Haupt- 

 trgheitsachse wirkt, wird der Stab in der dazu 

 senkrechten Ebene gebogen und die obige Be- 

 ziehung ist stichhaltig. Wirkt aber das Bie- 

 gungsmoment um eine andere Achse, so ist die 

 Ebene der gekrmmten Zentrallinie im allge- 

 meinen verschieden von der Ebene des Biegungs- 

 moments. 



Die obige, zunchst nur fr die gleich- 

 frmige Biegung durch zwei Biegungsmomente 

 gewonnene Gleichung wird in der Biegungs- 

 theorie auch fr vernderliche Biegungs- 

 momente angewendet, wobei also das 

 Biegungsmoment als eine Funktion von x auf- 

 gefat werden mu. Setzt man die Durch- 

 biegung allgemein = f(x), so wird die Krm- 



1 d 2 f 



mung angenhert ~ = _p^, und man er- 

 hlt als Gleichung der elastischen Linie" 



r l2f 



