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Elastizitt 



mit Hilfe der Interferenzlinien, indem man 

 das an der deformierten und an einer ebenen 

 Flche reflektierte Lieht interferieren lt. 

 Die Interferenzstreifen bilden eine Hyperbel- 

 schar, deren Asymptoten einen Winkel mit- 

 einander einschlieen, welcher mit dem Ver- 

 hltnis der beiden Hauptkrmmungen, d. h. 

 mit der Verhltniszahl v in der Beziehung 



tg=v 



steht. 



3. Torsion gerader Stbe. Whrend 

 bei der Biegung nur die zum Querschnitt 

 senkrechte Spannungskomponente von Null 

 verschieden ist, kommt es bei der gleich- 

 migen Verdrehung gerader Stbe auf die 

 Schubspannungen im Querschnitt an. Eine 

 einfache Lsung fr die Spannungsverteilung 

 kann man jedoch nur bei solchen Quer- 

 schnitten angeben, die durch einen Kreis 

 oder durch mehrere konzentrische Kreise 

 begrenzt sind (Kreisstab, kreisfrmiges Kohr). 

 In diesem Falle steht die Schubspannung in 

 jedem Punkte senkrecht zum Radius. Man 

 erhlt offenbar keine resultierende Kraft, 

 sondern nur ein Drehmoment um die Stab- 

 achse von der Gre (R Halbmesser des 

 Querschnittes, r die Schubspannung) 



R 



M t = r27tr 2 rdr. 



Man erhlt also fr die Schubspannung den 

 Ausdruck 



r=G T 

 und fr das Drehmoment 



R 



Mt-^/^yrrMr 



o 



Das Integral heit das polare Trgheitsmoment 

 J p des Querschnittes: es ist gleich der Summe 

 aller Flchenelemente multipliziert mit dem 

 Quadrat der Entfernung von der Stabachse. 

 Das Drehmoment Mt mu Gleichgewicht 

 halten mit dem Drehmoment der ueren 

 Krfte, d. h. die durch das Torsionsmoment 

 Mt erzeugte Verdrehung des Stabes 

 der Lnge 1 betrgt 



M t l 



von 



% 



J11G 



/' 



Andererseits mu die Schubspannung pro- 

 portional der Winkelnderung sein, die ein 

 Volumelement erfhrt. Man setzt daher 



Die Verdrehung ist proportional dem Dreh- 

 moment, der Melnge und umgekehrt pro- 

 portional dem Gleitmodul und dem polaren 

 Trgheitsmoment des Querschnittes. 



Fr einen beliebigen Querschnitt gilt 

 diese Relation nicht mehr, wie dies zuerst 

 von St. Venant nachgewiesen wurde; aller- 

 dings besteht der Unterschied nur darin, 

 da das polare Trgheitsmoment durch eine 

 andere Gre ersetzt wird, die ebenfalls 

 nur von der Querschnittsform und den Quer- 

 schnittsabmessungen abhngt. Das Pro- 

 dukt dieser Querschnittsgre und des 

 Gleitmoduls nennt man 

 Torsionssteifigkeit (C). 

 Dann gilt allgemein fr 

 die Verdrehung 



M t l 



9- 



C 



Fig. 12. 



r = Gy 



Die Winkelnderung y ist die Schiebung eines 

 Volumelementes durch die Verdrehung zweier 

 benachbarter Querschnitte (s. Fig. 12). Jede 

 Erzeugende der Zylinderflche geht in eine 

 Schraubenlinie ber. Denken wir uns eine 

 solche Schraubenlinie in der Entfernung r von 

 der Stabachse, und wird die Verdrehung zweier 

 Querschnitte, die in der Entfernung 1 vonein- 

 liegen, mit & bezeichnet, so ist die 



Winkelnderung 



Y = 



1 



Im Falle eines belie- 

 bigen Querschnittes kann 

 man die Spannungsvertei- 

 lung nach Prandtl in 

 folgender Weise veranschau- 

 lichen : Man denke sich eine 

 biegsame Membran ber 

 den betreffenden Quer- 

 schnitt ausgespannt und 

 durch konstanten Flssigkeitsdruck durchge- 

 bogen. Die Gestalt der Membran liefert die 

 sogenannte Spannungsflche" fr die Torsion 

 des Querschnittes. Diese Flche hat die Eigen- 

 schaft, da ihre Linien gleicher Hhe in jedem 

 Punkte die Richtung, ihr Geflle senkrecht zu 

 diesen Niveaulinien den Betrag der Schub- 

 spannung in dem betreffenden Punkte angeben. 

 Sind die Ordinalen der Spannungsflche 

 so bestimmt, da das Geflle numerisch gleich 

 der Schubspannung ist, so wird der Flchen- 

 inhalt zwischen dem ebenen Querschnitt und der 

 Spannungsflche numerisch gleich dem Torsions- 

 moment. Mathematisch luft es auf die Lsung 



