Elastizitt 



181 



formel fr elastische Formnderungen die 

 Gleichung (e Dehnung, o Spannung) 



vorgeschlagen ; fr m = 1 ergibt sich als 

 Spezialfall das Hookesche Gesetz. Diese 

 Interpolationsformel hat aber den Nachteil, 

 da sie fr kleine Dehnungen die Spannungs- 

 Dehnungsbeziehung nicht richtig darstellen 

 kann, da fr e = o = der Differentialquo- 

 tient - - gleich Null oder unendlich wird, je 



de - 

 nachdem der Exponent m > 1 ist. Dies 

 wrde also eine ganz rasche oder ganz lang- 

 same Zunahme der Dehnungen bei kleinen 

 Krften bedeuten, whrend gerade fr 

 sehr kleine Krfte das Hookesche Ge- 

 setz bestehen soll, wie dies F. Kohl- 

 rausch und E. Grneisen durch sehr 

 genaue Messungen nachgewiesen haben. Man 

 wird also Formeln bevorzugen, die fr sehr 

 kleine Werte von e und o in die einfache 

 lineare Formel bergehen. 1 ) 



4d) Beziehungen zur Molekular- 

 theorie. Es ist schon ziemlich frh ver- 

 sucht worden, die Elastizittskonstanten 

 mit den fr den molekularen Aufbau der 

 Krper charakteristischen Gren in _ Be- 

 ziehung zu setzen; es ist jedoch in dieser 

 Hinsicht eigentlich recht wenig erreicht 

 worden. Die Elastizittstheorie, wie sie im 

 Kapitel I geschildert wurde, behandelt den 

 festen Krper als Kontinuum. Nun kann 

 man dieselben Gleichungen auch auf Grund 

 der Annahme ableiten, da der Krper aus 

 Moleklen (oder Atomen) aufgebaut ist, 

 zwischen denen irgendwelche Krfte wirken, 

 die die Teilchen in stabiler Anordnung hal- 

 ten. Allerdings wissen wir ber diese Krfte 

 zunchst recht wenig. Wrde man annehmen, 

 da die Krfte nur von der Entfernung ab- 

 hngen, so mten die Elastizittskonstanten 

 irgendwie durch die Abstnde der Molekle 

 bestimmt sein. Wertheim fand, da fr 

 alle Metalle der Elastizittsmodul umgekehrt 

 proportional ist der 7. Potenz des mittleren 

 Atomabstandes, den man aus Atomgewicht 

 und Dichte ermitteln kann. Voigt fand 

 eine bessere Uebereinstimmung mit der 

 6. Potenz (so da Elastizittskonstanten 

 multipliziert mit dem Quadrate des Atom- 

 volums eine universelle Konstante ergeben 

 wrden). Die Uebereinstimmung ist nicht 

 besonders gut, doch auch dieses mangel- 

 hafte Resultat zeigt wenigstens so viel, 

 da zwischen den Atomen Krfte wirken 

 mssen, die von den Massen derselben 

 wenig abhngig sind, da diese bei den ver- 



glichenen Metallen zwischen auerordentlich 

 weiten Grenzen schwanken. 



Nimmt man an, da zwischen den Mole- 

 klen nur Zentralkrfte wirken, so kann 

 man nachweisen, da ein isotroper Krper 

 ! nur eine unabhngige Elastizittskonstante 

 besitzen kann. Wrde die Annahme zu- 

 treffen, so mte zwischen den beiden Kon- 

 stanten E und G eine universelle Beziehung 

 ; bestehen, entsprechend einem Werte der 

 Poissonschen Konstante v= 1 / i fr alle 

 isotropen Substanzen. Diese Beziehung trifft 

 aber nicht zu, vielmehr variiert v zwischen 



un d -rr. Der Widerspruch wurde von W. 



!) Eine vollstndige Zusammenstellung der 

 Dehnungs-Spannungsformeln findet man bei 

 Mehmke, Z. f. Math. u. Physik 1897. 



T 



Voigt durch die Bemerkung beseitigt, da 

 die meisten isotropen Krper (Metalle, Ge- 

 steine usw.) eigentlich aus kristallinischen 



! Bausteinen bestehen, die an und fr sich 

 anisotrop sind, aber nach allen Richtungen 

 gleichmig verteilt sind, so da sie ein iso- 

 tropes Konglomerat bilden. Voigt hat 

 fr ein solches Gebilde die mittleren Elasti- 

 zittskonstanten berechnet und gezeigt, da 

 fr ein solches Konglomerat die erwhnte 



i universelle Beziehung nicht mein bestehen 



; mu. 



4e) Temperaturabhngigkeit der 

 Elastizittskonstanten. Ueber die Tem- 

 peraturabhngigkeit der Elastizittskonstan- 

 ten sind zahlreiche Messungen angestellt 

 worden. Man findet bei den meisten Sub- 

 stanzen eine Abnahme mit wachsender Tem- 

 peratur sowohl fr den Elastizittsmodul als 

 fr den Gleitmodul. Im allgemeinen nimmt 

 aber der Elastizittsmodul wesentlich str- 

 ker ab, so da die Poissonsche Verhltnis- 

 zahl, die mit den beiden durch die Relation 

 p 



G = ^ c verbunden ist, zunimmt. Es 



2(1+ v) 

 ist sehr wahrscheinlich, da v in der Nhe 

 des Schmelzpunktes, oder, falls die Sub- 

 stanzen in einen weichen Zustand ber- 

 gehen, nahezu ~ wird (z.B. bei Kautschuk) ; 



alsdann ist der Kompressibilittsmodul 



p 

 K = 7 ^~- 7 r- ungleichmig grer als so- 



o(l lo) 

 wohl der Dehnungs- wie der Gleitmodul. 

 Die Substanzen setzen in diesem Zustande 

 der Volumnderung einen viel greren 

 Widerstand entgegen, als der Gestalts- 

 nderung, wie dies in der Nhe des Ueber- 

 ganges in den flssigen Zustand auch zu 

 erwarten ist. 



Was die Gre des Temperaturkoeffi- 

 zienten, d. h. der prozentuellen Abnahme 

 fr 1 Temperaturerhhung anbelangt, so 

 fand Cl. Schfer (1901), da dieser ledig- 

 lich von dem Abstnde vom Schmelzpunkt 

 abhngt. So ist bei Zimmertemperatur der 



