Elastizitt 



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6. Elastizitt ursprnglich krummer 

 Stbe. Federn. Die elastische Deformation 

 ursprnglich krummer Stbe hat gewisse 

 Bedeutung mit Rcksicht auf die Federn, 

 die bei vielen Konstruktionen, Meinstru- 

 menten usw. eine wichtige Rolle spielen. Es 

 handelt sich zumeist um die Beziehung 

 zwischen Kraftwirkung und Deformation. 

 Dies war eben das spezielle Problem, an 

 dem das Hookesche Gesetz zuerst erkannt 

 wurde. 



Gerade Biegungsfedern", sowie gerade 

 Torsionsfedern" (Fden) werden nach den 

 Formeln gerechnet, die wir fr gerade Stbe 

 abgeleitet haben. In diesem Abschnitt 

 wollen wir nun jene Federn betrachten, die 

 in unbelastetem Zustande eine gekrmmte 

 Zentrallinie besitzen. 



Wird ein bereits in einer Ebene ge- 

 krmmter Stab in seiner Ebene weiter ge- 

 bogen, so nimmt man an, da zwischen der 

 Aenderung der Krmmung und dem Bie- 

 gungsmoment dieselbe Beziehung besteht 

 wie zwischen Krmmung und Biegungs- 

 moment bei einem geraden Stab von dem- 

 selben Querschnitt. Wird z. B. ein Kreis- 

 bogen vom Radius q 1 in einen Kreisbogen 

 vom Radius q 2 gebogen, so ist 



Q* Qi JE' 

 Auf Grund dieser Formel kann man z. B. 

 die Deformation von Spiralfedern (Uhr- 

 federn) berechnen. 



Gegenstand vieler Arbeiten bildete 

 die Theorie der Schraubenfedern". Die 

 Wirkungsweise einer Schraubenfeder be- 

 steht lediglich in der Verdrehung (Tor- 

 sion) der Stabelemente. Wird z. B. eine 

 Schraubenfeder vom Halbmesser r durch 

 die Kraft P, die in der Achse der Schrauben- 

 linie wirken soll, zusammengedrckt, so bt 

 diese Kraft auf jeden Querschnitt ein Tor- 

 sionsmoment Pr aus. Schneiden wir die 

 Feder durch einen beliebigen Querschnitt 

 durch, so mssen die Torsionsspannungen 

 im Querschnitt diesem Drehmoment das 

 Gleichgewicht halten. Dementsprechend 

 werden die Stabelemente verdreht und die 

 Zusammendrckung der ganzen Schrauben- 

 linie entsteht durch Summation dieser elemen- 

 taren Verdrehungen. J. Thomson hat ge- 

 zeigt, da die Kraft P denselben Weg zu- 

 rcklegt, als wenn sie am Ende eines geraden 

 Stabes von demselben Querschnitt und der- 

 selben Lnge (d. h. von einer Lnge gleich 

 der Bogenlnge L der Schraubenlinie) mit 

 dem Hebelarm r angebracht und somit ein 

 Torsionsmoment P.r ausben wrde. Der 

 Weg der Kraft ist aber offenbar gleich die 

 Zusammendrckung; sie betrgt 



falls C die Torsionssteifigkeit des Feder- 

 querschnittes bezeichnet. 



III. Elastizitt von Platten und Schalen. 



i. Ebene Platten. Die strenge Theorie 

 der elastischen Deformation von Platten 

 bietet bedeutend grere mathematische 

 Schwierigkeiten als die Theorie der Stbe. 

 Man kann aber eine einfache angenherte 

 Theorie fr den Fall ableiten, da einerseits 

 die Plattendicke klein ist gegen die brigen 

 Abmessungen, andererseits aber die Durch- 

 biegung klein ist gegen die Plattendicke. 

 Eine Ausnahme von der Gltigkeit dieser 

 Theorie bilden also die sehr dicken Platten, 

 ferner die sehr leicht biegsamen mit ganz ge- 

 ringer Dicke, die mehr den sogenannten Mem- 

 branen hnlich sind. Trifft aber unsere Vor- 

 aussetzung zu, wie es bei nicht allzu dnnen 

 Platten bei migen Krften tatschlich der 

 Fall ist, so kann man die Reckung der Platte 

 in ihrer eigenen Ebene und die Durchbiegung 

 senkrecht dazu vollstndig trennen und fr 

 beide Arten der Deformation einfache Glei- 

 chungen gewinnen. Fr die Anwendungen 

 kommt hauptschlich die Durchbiegung von 

 Platten durch Flssigkeitsdruck oder senk- 

 rechte Einzelkrfte in Betracht. 



Als charakteristische Gren fr die 

 Formnderung des Plattenelementes sind 

 die Hauptkrmmungen" zu betrachten. 

 Denkt man sich Schnitte senkrecht zur 

 Tangentialebene der durchgebogenen Flche, 

 so gehrt zu jedem Schnitte ein Krmmungs- 

 radius. Von all diesen Krmmungsradien 

 gehren der grte und der kleinste (bezw. 

 grter negativer und grter positiver 

 Wert) zu zwei senkrechten Schnitten. Man 

 bezeichnet diese als Hauptschnitte und die 

 zugehrigen Krmmungsradien als Haupt- 

 krmmungsradien. Ihre Gre und die 

 Orientierung der zugehrigen Schnitte charak- 

 terisieren vollkommen die Krmmungsver- 

 hltnisse in dem betreffenden Punkte. 



Schneiden wir nun ein quadratisches 

 Plattenelement von der Seitenlnge Eins 

 und der Hhe h (Dicke der Platte) aus 

 (vgl. Fig. 15), so liefern die Normalspannungen 

 im gebogenen Zustande an jeder Stirnflche 

 Momente, die das Plattenelement gebogen 

 halten. Sind die Richtungen x, y speziell 

 parallel zu den Hauptschnitten gewhlt, 

 so werden die Momente der Spannungen 



proportional den Hauptkrmmungen 



Ri 



und -5- Es bestehen die Relationen 



R 2 

 (Mi und M 2 die Biegungsmomente) 



M,= 



Eh 3 _ 

 12 1- 



-V 2 \Q t 



V 

 Q2 



