184 



Elastizitt 



12 1 v 2 \g t qJ 



wobei v die Poissonsche Verhltniszahl, E 

 den Elastizittsmodul des Materials be- 



/h 3 

 zeichnet -j" ist das Trgheitsmoment eines 



Querschnittes von der Hhe h und der 

 Breite Eins). Stellt man nun die Gleich- 

 gewichtsbedingungen fr die Momente und 

 die Krfte auf, die auf das Plattenelement 

 wirken, so gelangt man zu einer Differen- 







__ 3 + * _ P R4 



Fig. 15. 



tialgleichung fr die Durchbiegung, indem 

 man noch die Krmmungen angenhert 

 durch die zweiten Differentialquotienten der 

 Durchbiegung ausdrckt. Die Differential- 

 gleichung der elastischen Flche lautet dann 

 schlielich 



Eh 3 



I2(i-v 2 )\dx* ' y 



fi^w % + 2 4 w 



x 2 y 2 



l> 



(w Durchbiegung, p der belastende senkrechte 

 Druck an der betreffenden Stelle x, y). Die 

 Integration dieser Gleichung fhrt zu der 

 Berechnung der Durchbiegung als Funktion 

 des Ortes. Als Randbedingungen kommen 

 verschiedene Flle in Betracht: die Platte 

 kann eingeklemmt sein (d. h. an dem Rand 

 ist sowohl Durchbiegung als Tangential- 

 ebene der Flche bestimmt) oder frei auf- 

 liegen (in diesem Falle ist nur die Durch- 

 biegung gegeben, dafr mu aber der Rand 

 spannungsfrei bleiben). Je nachdem erhlt 

 man verschiedene Formeln fr die Durch- 

 biegung. 



Fr die maximale Durchbiegung (Biegungs- 

 pfeil) erhlt man bei einigen einfachen An- 

 ordnungen folgende Ausdrcke (f Biegungs- 

 pfeil): 



Kreisfrmige Platte frei aufliegend und in 

 der Mitte durch die Einzelkraft P belastet: 



f 



3 3 +v 



PR 2 



4 1 + v h 3 (l ?' 2 )E' 

 dieselbe eingeklemmt 



3^ PR 2 

 4 h 3 (l *2)E' 



frei aufliegend und durch den gleichmigen 

 Druck p belastet 



16 1 + vh s (l i' 2 )E' 

 dieselbe eingeklemmt 



f - JL pR 4 



~~ 16h 3 (l ^ 2 )E" 



Die elastische Deformation der Platten 

 ist brigens mehr von technischem als von 

 physikalischem Standpunkte aus von Wich- 

 tigkeit; fr physikalische Messungen eignen 

 sich Platten weniger als dnne Stbe, da 

 eine sichere, den theoretischen Bedingungen 

 entsprechende Einspannung am Rande 

 schwer zu bewerkstelligen ist. 



2. Rohre und Schalen. Die allgemeine 

 Theorie der Deformation ursprnglich krum- 

 mer Flchen mu die Mittel der Flchen- 

 theorie benutzen und so wollen wir uns 

 auf einige besonders einfache Flle be- 

 schrnken, in denen die Spannungsverteilung 

 ohne besondere Rechnung durch Gleichge- 

 wichtsbetrachtungen ermittelt werden kann. 



Ein dnnwandiger Hohlzylinder sei durch 

 inneren oder ueren Flssigkeitsdruck belastet. 

 Man kann die Spannung, die in der Wandung 

 auftritt, dadurch ermitteln, da man das Rohr 

 von der Lnge 1 und dem Halbmesser R lngs 

 zwei diametral entgegengesetzten Erzeugenden 

 aufgeschnitten denkt. Alsdann wirkt auf jede 

 Hlfte die Kraft 2plR (p der innere bezw. 

 uere Ueberdruck). Diese Kraft mu mit den 

 Zug- bezw. Druckspannungen, die in dem Schnitte 

 auftreten, im Gleichgewicht sein; falls die Wand- 

 strke klein ist gegen den Halbmesser, kann 

 man die geringen Unterschiede in dem Quer- 

 schnitt vernachlssigen, und man erhlt fr die 

 mittlere Spannung, da die Flche der beiden 

 Schnitte 2l betrgt, 



2plR pR 



2W * 



Bei den sogenannten Federrohrmanometern 

 wird ein gekrmmtes Rohr mit elliptischem 

 Querschnitt zur Druckmessung angewendet. 

 Wird ein bestimmter Ueberdruck in das Innere 

 des Rohres geleitet, so geht die flache Durch- 

 schnittsform in eine weniger flache ber, so da 

 der Krmmungsradius der Zentrallinie vergrert 

 wird. Das Rohr nhert sich der geraden Gestalt. 

 Der Weg des Endpunktes wird zur Registrierung 

 des Druckes benutzt. 



Es sei noch die Deformation einer dnnen 

 Hohlkugel durch inneren Ueberdruck erwhnt. 

 Schneidet man diese durch einen grten Kreis 

 durch, so erfhrt jede Hlfte die Kraft R 2 ?rp. 

 Da die Schnittflche 2R7td betrgt, so ist die 

 in der Wandung auftretende Zugspannung 



R 

 2<T 



Sie betrgt die Hlfte der Ringspannung, 

 die bei demselben Ueberdruck bei einem Hohl- 

 zylinder von demselben Halbmesser und derselben 

 Wandstrke auftritt. 



IV. Dreidimensionale Probleme. 



Bei dreidimensionalen Problemen, d. h. 

 bei Krpern von gedrngter Form, deren 



6 = 



c = P 



