Elastizitt 



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punkte der Spirale durch. Durch die Belastung 

 zwischen langsam zu Null abnehmenden 

 Grenzen wird sozusagen der Einflu der 

 vorangegangenen Deformationen ausgeschal- 

 tet, und der Krper befindet sich wieder 

 in jungfrulichem Zustande. Man kann 

 aber auch fr einen beliebigen anderen 

 Punkt der Ebene den Krper in diesen 

 Zustand versetzen, d. h. von den vorange- 

 gangenen Deformationen unabhngig machen, 

 indem man dafr sorgt, da man durch 

 langsam abnehmende Zykeln in den Punkt 

 gelangt, Wiederbelastet wird der Krper 

 eine der jungfrulichen ganz hnliche Kurve 

 beschreiben, die man da sie wieder durch 

 alle Umkehrpunkte der Zykeln hindurchgeht 

 als Durchschreitungskurve" bezeichnet, 

 Eine mathematische Theorie dieser Vor- 

 gnge fehlt bisher vollstndig. Es mu 

 auerdem bemerkt werden, da das eben 

 Berichtete ein idealisiertes Schema der Vor- 

 gnge bietet. Es treten hauptschlich zwei 

 Erscheinungen strend hinzu: 



a) Die Zykeln werden genau nur dann 

 wiederholt, falls sie zwischen nicht allzuweiten 

 Spannungsgrenzen und insbesondere bei nicht 

 allzugroen Deformationen verlaufen (d.h. bei 

 schmalen Zykeln). Erstreckt sich der Zykel 

 auf groe Deformationen, so verschiebt er 

 sich bei jeder Wiederholung nach der Rich- 

 tung der wachsenden Deformationen, d. h. 

 es tritt stets ein neuer Dehnungsrest hinzu. 



b) Es ist gewissermaen Akkommodation" 

 vorhanden, besonders bei den ersten Wieder- 

 holungen. Die Zykeln werden schmaler und 

 schmaler. Dieser Einflu lt sich aber fast 

 ganz eliminieren, wenn man die Zykeln 

 erst mehrere Male durchlaufen lt. 



Nach den dargestellten Gesetzmig- 

 keiten kann zwar die Hysteresis als irrever- 

 sibler Vorgang bezeichnet werden, aber nur 

 in einem beschrnkten Sinne, indem jeder 

 Zustand doch nochmals zu erreichen ist. 

 Energetisch bedeutet jeder Zykel natrlich 

 einen Arbeitsverlust, und zwar ist die ein- 

 geschlossene Flche unmittelbar proportional 

 der bei jeder Wiederholung geleisteten Arbeit. 

 Diese Energiemenge geht in Bewegungs- 

 energie der Molekle (Wrme) ber. 



VI. Elastische Nachwirkung. 



i. Gedmpfte Schwingungen. Loga- 

 rithmisches Dekrement. Eine der ein- 

 fachsten jener Tatsachen, die in den Bereich 

 der Nachwirkungserscheinungen gehren, ist 

 die innere Dmpfung der elastischen Schwing- 

 ungen. Wird z. B. ein am oberen Ende 

 befestigter vertikaler Stab am unteren Ende 

 mit einem Gewicht verbunden und in Tor- 

 sionsschwingungen versetzt, so wrde nach 

 dem Hook eschen Gesetze die Bewegungs- 

 gleichung fr das schwingende Gewicht fol- 

 gendermaen lauten (vgl. II, 3): 



D 



d 2 # 



J p G #=0 



dt 2 ' 1 

 (D Trgheitsmoment des Gewichtes um 

 die Stabachse, J P G Torsionssteif igkeit des 

 kreisfrmig vorausgesetzten Querschnittes, 

 1 Stablnge). Der Stab wrde wie dies 

 bei voller Reversibilitt der elastischen Vor- 

 gnge nicht anders zu erwarten ist, mit 

 konstanter Amplitude Schwingungen aus- 

 fhren. Nun beobachtet man in Wirk- 

 lichkeit eine Abnahme der Amplitude, die 

 im allgemeinen viel grer ist, als der ein- 

 zigen ueren Kraft, dem Luftwiderstande, 

 entsprechen wrde. Man kann der Er- 

 scheinung durch die Annahme einer inneren 

 Reibung des festen Krpers Rechnung tragen, 

 die man proportional der Deformations- 

 geschwindigkeit, d. h. der zeitlichen Aende- 

 rung der Deformationsgren voraussetzt. 

 Man wird also das Hookesche Gesetz in der 

 Weise zu ergnzen haben, da man zu den 

 Gliedern, die proportional den Deformations- 

 gren sind, andere hinzufgt, die der zeit- 

 lichen Aenderung der Dehnungen und Winkel- 

 nderungen proportional sind. Setzen wir 

 insbesondere fr den Fall der Torsion 



*-(+* 



wo x die Reibungskonstante der Torsions- 

 deformation genannt wird, so geht die obige 

 Gleichung in 



d& . J P G 



dt 2 + 1 



#=0 



dt 1 

 ber. Die Lsung kann man schreiben: 



U 

 "t 2jrt 



T ' 



T ist offenbar die Dauer einer Schwingung; 

 falls die Reibungskonstante x klein ist, so 

 unterscheidet sich die 



# = # e sin -=-, 



Schwingungszeit 



sehr wenig von demWerte T = 



=2*}/ 



/ Dl 



JnG 



, den 



man unter Weglassung des Reibungsgliedes 

 erhlt. Die Bedeutung von 1 ist ebenfalls 

 ersichtlich. Das Verhltnis zweier nach- 

 folgenden maximalen Amplituden (z. B. 



fr t = g und t = -^g-J betrgt offenbar e~ l 



d. h. A ist der negative Logarithmus des 

 Verhltnisses zweier nacheinanderfolgender 

 maximalen Ausschlge. Diese Gre wird 

 das logarithmische Dekrement" ge 

 nannt und ist ein direktes Ma fr die Dmp 



fung. 

 fr / 



Aus der Schwingungsgleichung folgt 



1 - x 



JpG 

 Dl ' 



Mit derselben Annherung, w r ie frher, wird 



4jr 2 A = . 



