Elastizitt 



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de 



Fr konstante Deformation -jt =0 wrde 



folgen 



da 



dt 



o 

 T 



oder ( der anfngliche Wert von o) 



t 



t 

 o= Oo e 



d. h. eine exponentielle Abnahme der Span- 

 nung mit der Zeit. Die Relaxationszeit 

 kann als iene Zeit gedeutet werden, in der 



1 

 die Spannung auf den y-^ fachen Wert 



des ursprnglichen Wertes heruntersinkt. 



Man ist zwar durch den einfachen Max- 

 well sehen Ansatz nicht imstande, die ver- 

 wickelten zeitlichen Gesetze der tatsch- 

 lichen Relaxation wiederzugeben, auer- 

 dem liefert der Ansatz keine zwanglose 

 Erklrung fr die verzgerte Deformation 

 (namentlich bei Entlastung), trotzdem ist es 

 sehr beachtenswert, da Maxwell gewisser- 

 maen der Dauer des Deformationszustandes 

 einen Einflu zuschrieb. Man wird zu dieser 

 Auffassung gezwungen durch die Beobach- 

 tungen ber die Superponition der Nachwir- 

 kung von Deformationen, die nacheinander in 

 entgegengesetztem Sinne vorgenommen wur- 

 den. Wird z. B. ein Stab zuerst nach rechts 

 tordiert und lngere Zeit in diesem Zustande 

 gehalten, dann whrend einer krzeren Zeit 

 nach dem entgegengesetzten Sinne gedreht, 

 so kehrt er nach der Entlastung zuerst von 

 links nach rechts zurck; diese Bewegung 

 wird aber immer langsamer, der Stab dreht 

 sich sogar wieder um einen kleineren Be- 

 trag nach links, und schlielich wieder zurck 

 gegen die ursprngliche Gleichgewichtslage. 

 Man mu die Drehung nach links offen- 

 bar als eine noch immer bestehende Nachwir- 

 kung der langdauernden frheren Rechts- 

 drehung deuten, die durch die rascher ab- 

 klingende Nachwirkung der kurzen Links- 

 drehung berdeckt wurde. Aehnlich kann 

 man die Ueberlagerung der Nachwirkung 

 mehrerer in verschiedenem Sinne vorange- 

 gangener Deformationen beobachten. Man 

 mu also schlieen, da der jeweilige Zu- 

 stand von allen zeitlich vorangegangenen 

 Zustnden, d. h. der ganzen Vorgeschichte'' 

 des Krpers, abhngig ist. Diese Auffas- 

 sung hat ihren mathematischen Ausdruck 

 zuerst in Boltzmanns Theorie der elasti- 

 schen Nachwirkung gefunden. 



3. Die Boltzmannsche Theorie der 

 elastischen Nachwirkung. Soll der Ein- 

 flu der gesamten Vorgeschichte des Kr- 

 pers bercksichtigt werden, so mu offenbar 

 jede vorangehende Deformation mit ge- 

 wissem Gewicht in Betracht kommen, wel- 

 ches desto kleiner ist, je lnger der betreffende 



Deformationszustand zeitlich zurckliegt. 

 Wir wollen wieder den Fall der Torsion be- 

 trachten, auf den sich ohnehin die meisten 

 Beobachtungen beziehen. Ohne Nachwir- 

 kung wre das Drehmoment, welches einer 

 Verdrehung des Stabes von der Lnge 1 

 mit einem Winkel vom Betrage & entspricht, 



gleich 



M=^U, 



wo & offenbar die jeweilige Verdrehung zur 

 Zeit t bedeutet. Hat aber die Deformation 

 zur Zeit t = bereits begonnen und ist die 

 Verdrehung in einem beliebigen Zeitpunkt r 

 zwischen < x < t gleich ^-(t) gewesen, so 

 bercksichtigt Boltzmann den Einflu all 

 dieser vorangegangenen Deformationen da- 

 durch, da er von dem Betrage G.#das Integral 

 ber smtliche Deformationen whrend der 

 Zeit von bis t abzieht, wobei jede Defor- 

 mation mit einer Gre multipliziert wird, 

 welche von der verstrichenen Zeit t -- x 

 abhngig ist, d. h. mit einer Funktion 

 ip(t t) von t x. Dieses ip ist eine charak- 

 teristische Funktion des Materials, welche 

 sozusagen fr die Erinnerung" des Kr- 

 pers kennzeichnend ist; sie drckt aus, 

 wie stark der Einflu eines Zustandes noch 

 besteht, welcher eine gewisse Zeit t r bereits 

 zurckliegt. Das Drehmoment wird also mit 

 Bercksichtigung der Nachwirkung 



M = i2 



Gq- 



1 

 l&(x)y)(t- 



x)dx 



Boltzmann hat nun gezeigt, da dieser 

 Ansatz geeignet ist, alle charakteristischen 

 Erscheinungen der Nachwirkung darzustellen. 

 Die Erinnerungsfunktion kann durch einen 

 Vorgang experimentell bestimmt werden, 

 und alsdann ist man imstande, auf die zeit- 

 lichen Gesetze der brigen Vorgnge zu 

 schlieen. 



Wir wollen nur die einfachsten Flle be- 

 trachten : 



a) Verzgerte Deformation. Die De- 

 formation beginnt um t = 0. Von diesem 

 Zeitpunkte an bis t = T sei die Verdrehung 

 konstant und gleich & . Zur Zeit t = T 

 wird der Stab entlastet ; es fragt sich, wie 

 geht die Detorsion zeitlich vor sich? Da 

 nach t = T das Drehmoment verschwindet, 

 so ist whrend der Entlastungszeit 



T 



M = 



Jr 



G# -9-, 



o/yC* 



x)dx 



= 



oder 



= 



~-G> 



t)c!t. 



