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Elektrische Influenz 



4:7t fache Flchendichte an und ist daher in 

 (43) durch 4.nr( bezeichnet. Es tritt also 

 wieder, obwohl wahre Ladungen fehlen, an 

 der Trennungsflche, wo die D. K. sich 

 sprungweise ndert, Influenzladung des 

 Dielektrikums auf. Der Wert derselben 

 ist gleichfalls erst bekannt, wenn die Aufgabe 

 schon gelst ist. Wir knnen also allgemein 

 sagen, da auer an Leitern auch an 

 den Stellen des Dielektrikums In- 

 fluenzladungen auftreten, an denen 

 die D. K. sei es stetig, sei es 

 sprungweise variabel ist. 



3b) Lsung spezieller Flle. Als 

 Beispiel nehmen wir wieder den Fall des 

 Plattenkondensators. Zwischen den Metall- 

 platten befinde sich ein Dielektrikum von 

 variabler D.K. Der Einfachheit halber 

 nehmen wir an, da dieselbe nur von x 

 abhngig sei und setzen dafr etwa an: 



= + CtX, 



wo a eine Konstante bedeutet. Wahre elek- 

 trische positive Ladung e/S findet sich auf 

 Platte 1; Influenzladung von demselben 

 Betrage, aber umgekehrtem Vorzeichen auf 

 der zweiten Platte. Ferner ist im Innern 

 freie (influenzierte) rumliche Ladung 



e 

 vorhanden, da nach Voraussetzung -c 



= a-f- ist. Man erkennt ohne weiteres, 

 da hier einfach x an Stelle von @ x tritt, 

 da wir hier analog Gleichung (13) haben: 



$ x = 4jze/S; 



Also : (44 (J x = -=- = 07 : v 



Se b(e -f- ax) 



Fr die Differenz der Potentiale der 

 beiden Platten liefert die Theorie, da diese 

 gleich der Arbeit ist, die geleistet werden 

 mu, um die Einheitsladung von Platte 2 

 auf Platte 1 zu schaffen: 



1 x=d 



<pi(pi = f x dx = l @ x dx = 



4- 



E, 



-4- 



-*x 



Fig. 15. 



Schlielich wollen wir noch, was allerdings 

 ohne ausgiebige Verwendung hherer Mathe- 

 matik nicht gelingt das Problem behandeln, 

 da in ein ursprnglich homogenes Feld im 

 Vakuum eine Kugel von der D. K. hineinge- 

 bracht wird. Der Kugelradius sei R. Welches 

 ist das resultierende Feld in der Kugel 

 und im Auenraum? 



Wir haben zunchst fr das Potential qp 

 des ursprnglichen Feldes offenbar: 



Z/qP =0 



qP -ff -R 

 z = z=C ' 



-&-*- 



(46) 



X=0 



ine . I. ad 

 !og(l - 



Sa 



also ist die Kapazitt C dieses Kondensators: 



Sa 



(46) 



C = 



4.1og(l+^) 



Ebenso leicht lt sich der Fall behandeln, 

 da der Kondensator zur Hlfte mit einem 

 Medium von der D.K. e l5 zur anderen Hlfte 

 mit einem solchen der D.K. 2 erfllt sei 

 (Fig. 15). 



Leichte Rechnungen ergeben als Resultat 

 fr die Kapazitt dieses Kondensators: 



(47) 



C = 



S:rcd( 1 + 2 ) 



wenn mit A, B, C die Komponenten des kon- 

 stanten Feldes bezeichnet werden. Nehmen wir 

 die Richtung des Feldes zur x- Achse, so ist 

 einfacher B = C = 0. Wird nun die Kugel 

 eingebracht, so wird dies Feld gestrt. Wir 

 haben zur Bestimmung des neuen fr das Poten- 

 tial cp die Gleichung: 



(48) 4<p = 



Diese geht nmlich aus (41) hervor, wenn 

 man qp einfhrt und bercksichtigt, da 



S s S 



x = y = 2 - = 

 ist. Da die Strung durch die Kugel im Unend- 

 lichen verschwindet, so herrscht dort das un- 

 gestrte Feld; also: 



lx/oo - '\y/oo Uz/oo - 

 An der Trennungsflche mssen die Poten- 

 tialwerte fr Innenraum (qp i) und Auenraum 

 (qpa) stetig ineinander bergehen, und da keine 

 wahren Flchenladungen vorhanden sind, liefert 

 der Gausche Satz (42) noch die zweite der 

 folgenden Gleichungen: 



qpi = qPa' 

 (jpi qPa 



n n 



(50) 



I 



an der Kugeloberflche. 



FhrenTwirl Polarkoordinaten r, # eini (die 

 dritte Koordinate ip ist berflssig, da um die 

 x-Achse alles symmetrisch ist, die Erschei- 

 nungen also nicht von ip abhngen knnen) und 

 nehmen den Kugelmittelpunkt als Koordinaten- 

 anfangspunkt, so geht (48) durch die Koordinaten- 

 transformation ber in: 



die durch den Ansatz 



bfl- 



b 



