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Flchenmessung 



zwischen den Punkten A und B dauernd 

 nach unten (oben) konkav gestaltet ist. 



Wechselt die Kurve in dem Intervall 

 aber das Vorzeichen der Krmmung (s. die 

 punktierte Kurve zwischen A und B in 

 Fig. 1), so kann diese Nherung J, recht 

 genau sein. Natrlich steigt die Genauigkeit 

 mit der Anzahl n der Teilintervalle. 



ib) Simpsonsche Regel. Die als 

 Simpsonsche Regel bezeichnete Methode 

 basiert auf dem Gedanken eine Eintei- 

 lung in n Teilintervalle wie oben voraus- 

 gesetzt , die gegebene Kurve durch Stcke 

 von Parabelbgen zu ersetzen, und den 

 hiervon umschlossenen Flcheninhalt J 2 

 streng auszuwerten. 



Durch einen Parabelbogen ersetzt wird 

 jedesmal ein Teil der Kurve zwischen 

 zwei aufeinanderfolgenden Punkten mit Ab- 

 szissen von geradem Index, also ber der 

 Basis der vorher benutzten Rechtecke. 

 Z. B. zwischen den Punkten P (x 4 y 4 ) und 



Q (x 6 y). 



Die Parabel soll hierbei folgende Bedin- 

 gungen erfllen: 



1. Ihre Achse soll parallel der y-Achse 

 sein. Ihre Gleichung hat daher die Form: 



jy=a+bx+ex 2 . 



Die Analogie mit der Entwickelung einer 

 Funktion in eine Potenzreihe wird dabei 

 evident. 



2. Die Parabel soll durch die Kurven- 

 punkte (x 4 y 4 ) und (x 6 y 6 ) hindurchgehen. 



Ferner auch durch den 

 mittleren Kurvenpunkt 

 (x 5 y.,). Dadurch ist sie 

 bestimmt, hat allerdings 

 an den drei Punkten 

 eine etwas andere Rich- 

 tung als die gegebene 

 y 6 Kurve. 



Der Flcheninhalt unter 

 dem Parabelbogen PQ (s. 

 Fig. 2) besteht nun erstens 

 aus dem Inhalt des Tra- 

 pezes, das aus der Basis 

 jx=\ : x 4 und der 

 Sehne PQ gebildet wird. 

 Bezeichnen wir diesen Inhalt des Sehnen- 

 trapezes" mit S\ so ist 



bekannten Satze das unter dem Parabelbogen 

 liegende Flchenstck. Um dieses Flchen- 

 stck ist das Sehnentrapez zu vermehren, um 

 den gesamten zwischen dem Parabelbogen 

 und der x-Achse liegenden Flchenstreifen 

 zu erhalten. Dessen Inhalt wird also: 



j 2 ' = S'+2/ 3 .(T' S'). 



Um den gesamten Flcheninhalt J 2 zu er- 

 halten, der von den einzelnen Parabelbgen 

 begrenzt wird, sind die einzelnen Sehnen- 

 und Tangententrapeze der Teilintervalle zu 

 summieren. 



Die Summe S der Sehnentrapeze wird: 



,-4+Yn-2 



s=^x.| 2 + -<>- 



+ ...+ 



+ 



yn-2+y n 



: 



d. h. 



> 7 o 



yh 



y4 



ys 



o 



x 4 x 5 



Fig. 2. 



S'=^x.~-.(y 4 +y 6 ). 



Li 



Die Tangente an die Parabel im Punkte 

 (x 5 y 5 ) ist der Sehne PQ parallel und z/x.y 5 

 =T ist der Inhalt des Tangententrapezes", 

 das unten durch ^x und oben durch diese 

 Tangente begrenzt wird. 



Die Differenz T'-S' ist der Inhalt des 

 kleinen Parallelogramms zwischen Sehne 

 und Tangente und 2 /a hiervon ist nach einem 



S=zfx. ~ +y 2 +y 4 + . .. -fy n _ 4 +y n -^ +y}. 



Die Summe T der Tangententrapeze 

 wird: 



T=*Jx.{y l +y 3 + . . . Vn-3 + yn-i]. 

 Der Inhalt J 2 wird: 



J 2 =S+ 2 / 3 .(T-S) 



Meistens findet man den hieraus hervor- 

 gehenden Ausdruck: 



j 2= ^.(S + 2T)= J .(y fl + 4y,+ 2y 2 +4y 3 + 



. . . +2y n -4 + 4yn-3 + 2y n -2 + 4yn- I + yn3 



als Simpsonsche Regel angegeben. 



Es empfiehlt sich jedoch, S und T ge- 

 sondert zu berechnen, da die Differenz 

 (T S) einen ungefhren Ueberblick ber die 

 Genauigkeit gewhrt. 



Genauere Ueberlegungen zeigen, da der 



Fehler der Simpsonschen Regel auf 



h*_ 



180 



wo y" und y,'/' die dritten Ableitungen 

 von y=f(x) am Anfang und Ende des Inter- 

 valls* AB sind. Um eine Kontrolle der 

 Genauigkeit zu gewinnen, verfhrt man daher 

 so. da man das zu messende Intervall 

 zuerst in n Teile von der Breite h teilt und 

 die Rechnung durchfhrt. 



Das Ergebnis sei J 2 . 



Darauf nimmt man die doppelte Anzahl 



2n von Teilintervallen mit der Breite 2 . 



Ist der Fehler beim ersten Male e, so ver- 



e 



(j'o'Jn') abgeschtzt werden kann, 



kleinert er sich auf den 16. Teil 



16' 



Gibt 



die zweite Rechnung als Inhalt J 2 *, so 

 ist ungefhr der 16. Teil der Differenz 

 (J 2 J 2 *) der Fehler von J,*. 



Die Rechnung, die bei der Flchenmessung 



