Flchenmessung 



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auszufhren ist, besteht in der Addition 

 der Werte y. Diese lt sich bequem durch- 

 fhren, sofern die Kurve y=f(x) gezeichnet 

 vorliegt, wenn man sich eines Merdchens , 

 Kurvimeter" genannt, bedient. Dies 

 besteht aus einem kleinen Rade mit ge- 

 eignetem Handgriff und einem Zhlwerk, das 

 die Umdrehungen des Rades registriert. 

 Mit diesem Rade werden die Ordinaten in 

 der richtigen Reihenfolge der Reihe nach 

 durchlaufen, worauf ihre Summe am Zhl- 

 werk abgelesen werden kann. 



Ist ein solches Instrument nicht zur 

 Hand, so empfiehlt es sich, die einzelnen 

 Ordinaten mittels Bleistiftstrichen auf einem 

 gengend langen Papierstreifen hinterein- 

 ander zu markieren und erst die gesamte 

 Lnge zu messen. 



Die Simpsonsche Regel bleibt auch 

 anwendbar bei der Messung von Flchen, 

 die allseitig von krummlinigen Kurven be- 

 grenzt werden. Man zieht eine Schar qui- 

 dist anter paralleler Geraden ber die Flche 

 und summiert deren Lngen in analoger 

 Weise wie vorher. Mitunter ist es vorteilhaft, 

 das Flchenstck mit transparentem Milli- 

 meterpapier zu berdecken, um dadurch 

 ohne weitere Zeichenarbeit die parallelen 

 Geraden zu erhalten. 



Die Wahl des Abstandes h der Parallel" 

 geraden richtet sich nach den Krmmungs- 

 verhltnissen der Randkurve. Ist deren Ver- 

 lauf ein glatter, so gengt eine grere Inter- 

 vallbreite h. Man mu abschtzen, ob die 

 Approximation der Randkurve durch die 

 Parabelsegmente der Breite 2h eine gengend 

 genaue ist. Es kann auch zweckmig sein, 

 einzelne Teile der zu messenden Flche mit 

 verschiedenen Intervallbreiten zu behandeln. 



ic) Auszhlen. Zeigt die Randkurve 

 einen sehr unruhigen Verlauf, so kommt man 

 bisweilen genauer und schneller zum Ziel, 

 durch ,, Auszhlen" des Flcheninhal- 

 tes. Liegt die Kurve bereits auf Milli- 

 meterpapier gezeichnet vor, so teilt man 

 die Flche zunchst in mglichst groe Recht- 

 ecke ein und zhlt schlielich die von dieser 

 Einteilung brig gelassenen Quadratmilli- 

 meter einzeln zusammen, wobei man die 

 unmittelbar an der Randkurve liegenden 

 Quadrate nach Augenma als voll rechnet 

 oder weglt. 



Ist die Kurve auf gewhnlichem Papier 

 gezeichnet, so kann man auszhlen, indem 

 man sie mit transparentem Millimeterpapier 

 bedeckt. 



2. Planimeter. 2a) Allgemeines 

 kinematisches Prinzip. Die Theorie 

 der Planimeter grndet sich am zweck- 

 migsten auf das Prinzip des von einem 

 in der Ebene frei beweglichen Vektor ber- 

 strichenen Flchenraumes (s. Fig. 3). 



Es sei AB ein Vektor von der Lnge p. 

 Dieser werde von einer Anfangslage AB aus 

 in eine unendlich benachbarte Lage AiB, 

 berfhrt. Diese infinitesimale Verschiebung 

 lt sich so auffassen, da der Punkt A des 

 Vektors um ein Stck da nach A x geschoben 



M 



(f-0 



Fig. 3. 



und dazu die Richtung des Vektors um 

 einen Winkel d<p gendert wird. Als Richtung 

 mge der Winkel cp gelten zwischen der 

 positiven Richtung des Vektors und einem 

 festen Vektor NM, und zwar sei cp positiv, 

 wenn die Richtung von AB aus der Richtung 

 von NM durch eine Drehung um cp im Sinne 

 des Uhrzeigers hervorgeht. 



Bei der Verschiebung des Vektors von 

 AB nach A^ wird von jedem Lngen- 

 element dp desselben ein Flchenelement 

 berstrichen". Dieses werde positiv ge- 

 rechnet, wenn dp das Flchenstckchen 

 fr einen in der Richtung des Vektors blicken- 

 den Beschauer von links nach rechts ber- 

 streicht. Der Vektor AB berstreicht bei 

 der Verschiebung auch ein Flchenstck, 

 das natrlich die Summe der von den ein- 

 zelnen Vektorelementen dp berstrichenen 

 Flchenelementen ist. Zerlegt man die 

 Verschiebung von AB nach A^ in zwei 

 Schritte, indem man zunchst den Vektor 

 parallel mit sich um die Strecke do, die 

 den Winkel a mit der Richtung des Vektors 

 bilden mge, verschiebt, so da er in die 

 Lage AiB'i kommt, und dann den Vektor 

 um A x durch den Winkel dcp dreht, so wird 

 der vom Vektor berstrichene Flchen- 

 inhalt dF: 



1 

 (1 F= ]) . da . sin a+ ., . p 2 . acp 



(hierbei gilt fr die Vorzeichen von a und 

 da dieselbe Regel wie fr w und den Vektor 

 AB). Der erste Term in dem Ausdruck dF 

 rhrt von der Parallelverschiebung, der 

 zweite von der Drehung her. 



Beschreiben die Endpunkte A und B 

 nun je eine Kurve, wobei der Vektor von 



