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Flchenmessung 



einer Anfangslage A B in eine Endlage 

 A e B e bergefhrt wird, so ergibt sich als 

 dabei berstrichener Flchenraum F: 



(je 



F 



1 



= / p.sin a.do + P 2 -(9?e 



-^o). 



Hierbei ist a als Funktion von o auf- 

 zufassen, wodurch die Bewegung des Vektors 

 ja definiert ist. a , a e , (p und cp e sind die 

 Werte von o und <p am Anfang und Ende 

 der Bewegung. 



Im besonderen knnen nun A und B 

 geschlossene Kurven beschreiben, so da 

 Anfangs- und Endlage des Vektors zusammen- 

 fallen. Dann ist in obigem Ausdruck fr F 

 der zweite Term null, da ja (p e =<p wird. 

 Bezeichnet man ferner mit F x und F 2 die 

 absoluten Betrge der von den Vektorend- 

 punkten A und B umfahrenen Flchenstcke 

 I und II, so berzeugt man sich, da der 

 gesamte berstrichene Raum F=F X F 2 ist, 

 wenn beide Flchenstcke von den betreffen- 

 den Punkten im Uhrzeigersinne umlaufen 

 sind und sich nicht umschlieen. 



Es gilt also in diesem Falle: 



F=F X F 



,= i p.sin a. 



do 



Fhrt man nun den Punkt A des Vektors 

 auf ein und demselben Kurvenstck hin 

 und her, whrend der andere Punkt P die 

 Flche I umfhrt, so behalten die Gleichun- 

 gen ihre Gltigkeit und es wird in diesem 

 Falle F 2 =0, so da F x durch das Integral 

 /p.sin a. da dargestellt wird, das an dem 

 vom Punkte A beschriebenen Kurvenstck 

 entlang hin und her zu erstrecken ist. 



2b) Polarplanimeter. Bei der prak- 

 tischen Ausfhrung der Planimeter 

 fr diesen Fall wird der Vektor AB durch 

 eine starre Stange realisiert. Der eine End- 

 punkt A wird bei einigen Ausfhrungen 

 durch eine Geradfhrung auf einer Geraden 

 gefhrt. Bei anderen Konstruktionen (dem 

 sogenannten Polarplanimeter) bewegt er sich 

 auf einen Kreisbogen, indem eine zweite 

 Stange PA in A gelenkig mit der ersten 

 verbunden ist, whrend sie sich um ihren 

 anderen festen Endpunkt (den Pol) drehen 

 kann (Fig. 4). Die Auswertung des Integrals 

 /p.sin a. da wird kinematisch in verschie- 

 denen Ausfhrungen realisiert. Bei dem 

 am meisten gebruchlichen Polarplanimeter 

 in folgender Weise: 



An der Stange AB ist eine Rolle R mit 

 glattem Rande so befestigt, da ihre Achse 

 der Stange parallel gerichtet ist (s. Fig. 4); 

 dabei liegt die Rolle auf der Papierflche 

 auf. Wird nun die Stange AB parallel 

 mit sich, wie frher, um ein Stck da, das 



mit AB den Winkel a bildet, verschoben, 

 so dreht sie sich um einen Winkel 



d l = 



ao. sin a 



(wenn o der Rollenradius ist). 



Bezeichnet man mit d den Abstand des 

 Rollenmittelpunktes m vom Punkte A und 



Fig. 4. 



mit den Winkel 3m AB (wodurch die 

 Stellung der Rolle am Stabe AB festgelegt 

 ist), so wird die Drehung dco 2 der Rolle bei 

 einer Drehung der Stange AB um A durch 

 den Winkel d<p: 



cUo 2 = .cos d.dcp. 



Die gesamte Drehung der Rolle bei einer 

 Elementarverschiebung der Stange, wie sie 

 frher vorgenommen wurde, ist also: 



dco x +dco 2 = .(sina.da+ d.cos.d^]. 



dco 



Umfhrt der Endpunkt B der Stange, 

 der zu einem Fahrstift ausgebildet ist, die 

 Flche I, whrend A auf einem Kreisbogen 

 bezw. einer Geraden hin und her gleitet 

 (es gibt fr beide Flle Konstruktionen), so 

 wird die gesamte Rollendrehung or. 



o 



- ' f 



sin a.do. 



Sie gibt also bis auf eine Konstante 

 (p.o) die umfahrene Flche I an. 



Fi=p. o.co. 



Die Rollendrehung co kann an einem Zhl- 

 werk abgesehen werden. 



Die sogenannten Kompensations plani- 

 meter sind so eingerichtet, da durch 

 zwei aufeinanderfolgende Messungen der 



