Flchenmessung 



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Fehler beseitigt werden kann, der durch 

 Ungenauigkeit in der Parallelstellung der 

 Rollenachse zur Stange AB entsteht. 



Die Polarplanimeter knnen auch zur 

 Messung so groer Flchenstcke benutzt 

 werden, da deren Umfahrung mit dem 

 Punkte B der Stange nur so mglich wird, 

 da die Kontur der Flche den Pol P um- 

 schliet. 



Dann beschreibt der Punkt A einen 

 vollen Kreis und es wird (cp e cp { )=2n. Die 

 Stange AB berstreicht jedoch nur den 

 ringfrmigen Teil der zu messenden Flche 

 zwischen deren Kontur und dem von A 

 beschriebenen Kreise, dessen Radius r sei. 

 Die Rollendrehung wird jetzt: 



strument hat also keinen beweglichen Teil und 

 ist mit den einfachsten Mitteln herzustellen. 

 Ein Taschenmesser mit halb aufgeklappter 

 kleiner Klinge als Fhrstift und ganz auf- 

 geklappter groer Klinge als Schneide kann 

 schon befriedigende Resultate liefern. Wird 

 I der Stift B auf einer Kurve entlang gefhrt, 

 so fhrt die Schneide den Punkt A auf 

 einer Bahnkurve, deren Tangente im Punkte 

 A stets durch den Punkt B seht. Der frher 

 eingefhrte "Winkel a zwischen Bahnkurve o 

 von A und der Stangenricbtung AB ist 

 also dauernd Null. Mithin ist das Integral 

 V'p.sin a.do=0 und bei einer Bewegung 

 der Stange ist die von ihr berstrichene 

 Flche: 



CO- 



1 I f- 



l 



u. do-fd.cos d.27z i 

 Q \J I 



die von der Stange berstrichene Flche 

 wird: F'=/p.sin a.do+p 2 .77. 



Die gesamte Flche ist aber F=F'+v 2 tz. 

 Sie hngt also mit der Rollendrehung oj zu- 

 sammen : 



F=p . q. a>+ n . (p 2 + r 2 2p . d . cos <5}. 



Es lieen sich demnach ohne Schwierig- 

 keiten Planimeter bauen, bei denen 



p2_|_ r 2 2pd.cos (5=0 



ist, die also stets den Flcheninhalt an 

 der Rollendrehung ablesen lassen. 



Eine erhebliche Fehlerquelle kann bei 

 den Polarplanimetern in ungleichmiger Be- 

 schaffenheit der Papieroberflche entstehen, 

 da die Drehung der Rolle hierdurch un- 

 gnstig beeinflut wird. 



Es sind deshalb Konstruktionen aus- 

 gefhrt, die diesen Uebelstand vermeiden. 

 Die Auswertung des Integrals /p. sin a.da 

 erfolgt hierbei durch Mechanismen, bei 

 denen nur Metallteile aufeinander rollen und 

 gleiten. Von der groen Anzahl von hierher- 

 gehrigen Konstruktionen sei das Scheiben- 

 planimeter" und das Kugelrollplanimeter" 

 (beide von Co r ad i -Zrich) genannt. Instru- 

 mente von sehr groer Genauigkeit. 



2c) Schneidenplanimeter Prytz. 

 Einen ganz anderen Gedanken verfolgt die 

 Konstruktion des Schneidenplanime- 

 ters", die von dem Dnen Prytz herrhrt. 



Auch hierbei ist der Vektor AB durch 

 eine Stange realisiert, die am Ende B einen 

 Fhrstift trgt. Das Ende A ist als 

 Schneide ausgebildet, in deren Ebene die 

 Stange liegt und die leicht in das Papier 

 hineingedrckt wird (s. Fig. 5). Das In- 



A B 



F = 



--iVST 



-<Po)- 



Umfhrt der Stift B eine Flche I. so 

 durchfhrt die Schneide A eine sich nicht 

 schlieende Kurve mit Spitzen. Eine nicht 

 einfache Ueberlegung zeigt, da die von der 

 Stange bei der Umfahrung von I berstrichene 



Flche nahezu gleich F x V 

 da V'-(<Pe cpo) den 



(<Pe<Po) ist, 



so dal V' {<pe(po) den Inhalt von 

 F x gibt. Die Ueberlegung zeigt ferner, 

 da man statt die Kontur von E\ einfach 

 zu durchlaufen, am Anfange den Stift B 

 in den Schwerpunkt der Flche I zu setzen 

 hat (es gengt denselben nach Augenma zu 

 ermitteln). 



Darauf hat man den Stift B auf einer 

 Geraden vom Schwerpunkt an die Kontur 

 zu fhren, diese zu durchlaufen und auf 

 derselben Geraden zum Schwerpunkt zurck- 

 zufhren, worauf der Winkel (p e cp ) zwi- 

 schen Anfangs- und Endlage der Stange zu 

 messen ist. 



Denkt man sich um den Schwerpunkt 

 der Flche einen Kreis mit solch einem 

 Radius r geschlagen, da sein Trgheits- 

 moment gleich dem der zu messenden 

 Flche ist, so erhlt man in dem Ausdruck 



eine Korrektur, so da der Inhalt F t 



r 4 .7r 



47p 2 " 



genauer mit 



Fig. 5. 



F 1 =pK(cp e cp ) + -~ 2 



angegeben wird. 



Den Einflu des Korrektionsgliedes kann 

 man jedenfalls leicht abschtzen. 



Statt den Winkel (cp? cp ) zu messen, 

 gengt es, den Absland s zwischen der 

 Anfangs- und der Endlage der Schneide zu 

 bestimmen, da mit gengender Annherung 

 (9?e 9?o)-P s gesetzt werden darf. 



Immerhin bleibt die nachtrgliche Mes- 

 sung des Winkels eine unangenehme Fehler- 

 quelle. 



