Raum 



Die Begriffe und Methoden der projek- 

 tiven Geometrie sind in neuerer Zeit immer 

 mehr in den Vordergrund getreten. Ins- 

 besondere verdankt man der projektiven 

 Geometrie eine wichtige allgemeine geo- 

 metrische Einsicht, das ,,Prinzip der 

 Dualitat"; dieses Prinzip besagt, daB man 

 aus jedem Satze der projektiven Geometrie 

 einen anderen ableiten kann, indem man die 

 Begriffe Punkt, Gerade, Ebene, Verbindungs- 

 linie, Schnittpunkt dreier Ebenen, Schnitt- 

 gerade durch die Begriffe Gerade, Punkt, 

 Schnittgerade, Ebene durch drei Punkte, Ver- 

 bindungslinie ersetzt. In der Geometrie der 

 Ebene vereinfacht sich das Prinzip, indem 

 sich die Begriffe Punkt, Gerade, Verbin- 

 dungsgerade, Schnittpunkt einerseits, Gerade, 

 Punkt, Schnittpunkt, Verbindungsgerade 

 andererseits dual entsprechen. Ausnahme- 

 falle, die dabei durch Auftreten paralleler 

 Linien usw. entstehen, kb'nnen durch Ein- 

 fuhrung ,,ideeller" oder, wie man sie auch 

 nennt, ,,unendlich ferner" Elemente be- 

 seitigt werden. 



So ist der bekannte Satz des Ceva der duale 

 zu dem des Menelaus, der des Pascal der duale 

 zu dem des Brianchon. 



Mit Hilfe des der projektiven Geometrie 

 zugrunde liegenden Begriffes der projek- 

 tiven Transformation wird es moglich, durch 

 Heranziehung weiterer mathematischer Hilfs- 

 mittel (Invariantentheorie) die metrische 

 und sogar allgemein die nicht-euklidische 

 Geometrie (s. A 3) in einem einheitlichen 

 Aufbau mit der projektiven Geometrie zu 

 vereinigen. 



2. Die Axiorne der Geometrie. Es 

 ist das Bestreben der Geometrie, ihre Wahr- 

 heiten in ein logisch aufgebautes System 

 zu ordnen. Dieser Aufbau geschieht, indem 

 man die geometrischen Satze durch logische 

 SchluBketten, die Beweise, zuruckfiihrt auf 

 gewisse einfache Satze, die Axiome der 

 Geometrie, die man ihrerseits nicht mehr 

 ableitet, sondern als Grundlage des ganzen 

 Banes ansieht und die unmittelbar einleuch- 

 tend sind. 



In zahlreichen moderneu Untersuchungen 

 ist der Grundsatz der axiomatischen Er- 

 forschung des Raumes in der Geometrie, 

 der schon Euklids Elementen ein charak- 

 teristisches Geprage verleiht, zu seiner vol- 

 len Bedeutung gelangt. Man kann die 

 Geometrie in sehr verschiedener Weise axio- 

 matisch aufbatien, je nachdem man ver- 

 schiedene Axiomensysteme zugrunde legt. 

 Vor allem hat man zwei Richtungen zu 

 unterscheiden. Die eine auf Euklid zu- 

 riickgehende, stellt gewisse Axiome der 

 Verkniipfuns;, Anordnung, Kongruenz und 

 das Parallelenaxiom voran, wahrend 

 der Stetigkeitsbegriff und die damit zu- 



sammenhangenden Axiome moglichst zu- 

 riicktreten. 



Die andere, in ihrem Ursprung modernere 

 Richtung geht von dem Begriffe der Stetig- 

 keit der Bewegung und der Gruppe aus. 



Axiome der Verkniipfung sind z. B. : Zwei 

 verschiedene Punkte bestimmen eine Gerade; 

 zwei nichtparallele Geraden der Ebene be- 

 stimmen einen Punkt; ein Axiom der Anord- 

 nung: Wc'im A und C Punkte einer Geraden 

 sind, so gibt es Punkte B, die zwischen A und 

 C liegen. Das Parallelenaxiom in der Ebene 

 besagt: Durch jeden auBerhalb einer Geraden 

 a gelegenen Punkt gibt es eine und nur eine 

 die Gerade a nicht schneiden.de Gerade. 



Auf der Tatsache, daB von jedem der 

 Axiome der Verkniipfung und Anordnung auch 

 das duale gilt, beruht das Dualitatsprinzip. 



3. Axiomatik und nicht-euklidische 

 Geometrie. Ein System von Axiomen muB 

 folgenden Anforderungen genugen: a) Die 

 Axiome miissen widerspruchsfrei sein, d. h. 

 sie diirfen nicht durch logische Folgerungen 

 zu widersprechenden Ergebnissen fiihren. 

 b^ Die Axiome mtissen voneinander unab- 

 hangig sein, d. h. es darf in keinem etwas 

 enthalten sein, was aus den iibrigen sich 

 logisch folgern laBt. Diese beiden Forde- 

 rungen der Widerspruchslosigkeit und 

 Unabhangigkeit haben zu den modernen 

 axiomatischen Untersuchungen AnlaB ge- 

 geben, deren Ergebnis eine klare Erkenntnis 

 von der logischen Stellung der einzelnen geo- 

 metrischen Tatsachen zueinander ist, und 

 die aufs engste mit der Entwickelung der 

 nicht-euklidischen Geometrie zusam- 

 menhangen. Den Beweis fiir die Wider- 

 spruchslosigkeit der Axiome fiihrt man, indem 

 man zeigt, daB jeder Widerspruch in den 

 Axiomen einen Widerspruch in den Grund- 

 gesetzen der Arithmetik zurFolge haben miiBte. 

 Die Widerspruchslosigkeit der Grundgesetze 

 der Arithmetik wird dabei als gesichert ange- 

 nommen. - - Den Beweis fiir die Unabhangig- 

 keit eines Axioms Avon den anderen A'. . . fiihrt 

 man, indem man zeigt, daB die Annahme des 

 Gegenteiles von A logisch mit der Giiltigkeit 

 aller iibrigen Axiome A'... vertraglich ist. 

 Es kommt also darauf an, ein System S von 

 Dingen zu konstruieren, in denen alle durch 

 die Axiome A'. . . ausgedriickten Beziehungen 

 bestehen, dagegen die durch A ausgedriickte 

 Relation nicht gilt. Zu diesem Zwecke ab- 

 strahiert man von der natiirhchen Bedeutung 

 der Worte ,,Punkt", Gerade", ,,Ebene rt 

 usw. und konstruiert sich irgendein System 

 von Dingen, die man ,, Gerade," ,, Punkte", 

 ,, Ebenen" usw. nennt, definiert zwischen 

 ihnen Beziehungen, die man als ,,Verbinden", 

 ,,Schneiden" usw. bezeichnet, und trifft 

 alle diese Definitionen so, daB dieses System 

 S den Axiomen A' ... geniigt, und" dem 

 Axiom A nicht geniigt. Kann man zeigen, 

 daB ein logisch widerspruchsfreies derartiges 



