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Rauni 



System S existiert, so 1st damit die logische 

 Unabhangigkeit des Axioms A von den 

 ubrigen dargetan. 



Das ist der Grundgedanke, auf dem die 

 nicht-euklidische Geometrie beruht. Diese 

 entspringt aus dem Problem, die Unabhan- 

 gigkeit des Parallelenaxioms von den 

 ubrigen Axiomen zu beweisen. 



Eine solche nicht-cuklidische Geometrie kon- 

 struiert man am einfachsten folgendermaBen: 

 Man definiere als Gerade, Ebenen, ... die wirk- 

 lichen Geraden, Ebenen usw., soweit sie innerhalb 

 einer gegebenen Kugel verlaufen; schneiden, 

 verbinden usw. soil dasselbe heiBen wie in der 

 Euklidischen Geometrie. Wenn man nun den 

 Begriff der Kongruenz in geeigneter Weise 

 definiert und parallel zwei Gerade nennt, die 

 sich auf der Kugeloberfliiche schneiden, so geniigt 

 unser System alien Axiomen aufier dem Parallelen- 

 axiom; es gibt jetzt durch jeden Punkt zwei 

 Parallel zu einer Geraden. 



Die nicht-euklidische Geometrie ist nur 

 ein spezielles Beispiel fiir eine Geometrie, 

 in der alle Axiome der euklidischen Geo- 

 metrie bis auf eines erfiillt sind. 



B. Philosophische Untersuchungen iiber 

 den Raum. 



Die Geometrie lehrt uns zwar die geo- 

 metrischen Eigenschaften des Raumes auf 

 gewisse Axiome zurukzufiihren, aber iiber 

 die Erkenntnisquellen, aus denen die Axiome 

 stammen, sagt sie nichts aus, und es wird 

 daher eine weitere philosophische Unter- 

 suchung iiber die Erkenntnisquellen 

 der geometrischen Satze notig. Die 

 philosophischen Ansichten und Theorien, 

 die iiber diese Frage in der Literatur vor- 

 liegen, tragen zum Teil einen mehr oder 

 weniger dilettantischen Charakter, indem 

 sie entweder den mathematisch-physika- 

 lischen oder den philosophischen Schwierig- 

 keiten der Sache nicht gerecht werden; es 

 ist daher noch keine philosophische Theorie 

 zur allgemeinen Anerkennung durchgedrun- 

 gen. Im folgenden soil iiber die wichtigsten 

 Typen dieser philosophischen Theorien ein 

 Ueberblick gegeben werden. 



Da, wie man leicht sieht, die Axiome 

 der Geometrie nicht rein logisch ableitbar 

 sind, so ist es notig, fiir die Axiome andere 

 Erkenntnisquellen als die formale Logik auf- 

 zusuchen. 



i. Der Empirismus. Der Empirismus 

 sieht diese Erkenntnisquelle in der Erfahrung. 

 Nach ihm sind die geometrischen Axiome 

 und damit die Eigenschaften des Raumes 

 genau so Erfahrungstatsachen wie irgendein 

 chemisches oder physikalisches Faktum; nur 

 der Grad der Genauigkeit ist bei diesen geo- 

 metrischen Erfahrungen holier. Auf diesen 

 Standpunkt stellte sich auch GauB mit 

 seinem Versuche, durch Messung des Drei- 



eckes: Hoher Hagen, Brocken, Inselsberg 

 festzustellen, ob die Winkelsumme in diesem 

 Dreiecke zwei Rechte betrage oder nicht, 

 und damit zu entscheiden, ob die euklidische 

 oder eine nicht-euklidische Geometrie richtig 

 ist. Znr Begriindung der empiristischen 

 Theorie fiihrt man eine Reihe psychologischer 

 und physiologischer Ergebnisse an, die uns 

 verfolgen lassen, wie in dem Individuum die 

 Raumvorstellung und die geometrische Ein- 

 sicht sich entwickelt, von welchen physio- 

 logischen Bedingungen sie abhangig ist, 

 usw. Bei naherer Priifung zeigt sich jedoch, 

 daB diese empiristischen Theorien zwar 

 interessante psychologische und physiolo- 

 gische Aufschliisse iiber die Entwickelung der 

 Raumanschauimg liefern, aber iiber das 

 erkenntniskritische Problem gar nichts aus- 

 sagen. Sie alle operieren von vornherein 

 mit der geometrischen Raumvorstellung, 

 und jeder Versuch, auf diese Weise die geo- 

 metrische Raumvorstellung zu erklaren, ist 

 eine petitio principii. 



2.. Konventionalismus. In der Einsicht, 

 daB weder Logik noch Erfahrung den Er- 

 kenntnisgrund fiir die geometrischen Wahr- 

 heiten abgeben kann, ist eine weitere philo- 

 sophische Richtung zu dem Standpunkt 

 gelangt, daB die Axiome iiberhaupt keine 

 Erkenntnisse sind, sondern lediglich Kon- 

 ventionen, die nur den Zweck haben, in 

 moglichst einfacher und bequemer Weise 

 die Grundlage zu einem weiteren logischen 

 Aufbau einer fiir die Anwendung zweck- 

 maBigen Geometrie zu liefern. Der euklidi- 

 schen Geometrie ist hiernach vor der nicht- 

 euklidischen Geometrie darum der Vorzug 

 zu geben, weil sie bei der Beschreibung der 

 Naturvorgange einfachere und bequemere 

 Formeln liefert, nicht weil sie wahr ist. 

 Auch diese konventionalistische Theorie, die 

 im letzten Grunde darauf hinauslauft, Wahr- 

 heit und ZweckmaBigkeit einander gleich- 

 zusetzen, enthalt, wie die niihere Priifung 

 ergibt, eine petitio principii- 



3. Kritizismus. Wesentlich tiefer wird 

 das Problem von der kritischen Philo- 

 sophie angefaBt. Diese lehrt, daB es auBer 

 der formalen Logik und der Erfahrung noch 

 andere Erkenntnisquellen gibt. Die nicht 

 empirische und nicht logische Quelle der 

 geometrischen Erkenntnis heiBt die reine 

 Ans chaining; der geometrische Raum 

 ist der Gegenstand der reinen Anschauung, 

 und jede empirische Anschauung ist erst 

 durch diese reine Anschauung mb'glich. Die 

 Objekte der Geometrie sind Konstruktionen 

 in der reinen Anschauung; durch die Auf- 

 weisung der reinen Anschauung miissen also 

 die Axiome der Geometrie und damit die 

 Geometrie begriindet werden. 



Urn sich die Existenz der reinen An- 



