Reibung 



Dieser verzogernden Kraft intiB im Behar- 

 rungszustande die Druckdifferenz an den 



beiden Enden des Zylinders von der Lange 

 dz das Gleichgewicht halten. Da nun die 

 Druckabnahme pro Langeneinheit eine Kon- 

 stante c sein muB, so ergibt sich als Gleich- 

 gewichtsgleichung der Krafte am bctrach- 

 teten Zylinder: 



dv 



c.7rx 2 .dz = 2jr.xk.dz. > 



dx 



woraus sich durch Integration ergibt: 



T-o4. 



Fiihrt man hier die Bedingung ein, daB fiir 

 x == r, v == o genommen werden muB, so er- 

 gibt sich als Gleichung der Ge- 

 schwindigkeitsverteilungiiberden 

 Querschnitt 



c r n n ^ 



v 



&Xy , dX z 



dx 



. , . 



- 



(vgl. den Artikel ,,Elastizi tat") fiihrt 

 fiir X Y Z die Kuinponenten der Tragheits- 

 kraft ein nnd for nit die Schubspannungen 

 in Ausdriicke um, die die von der Zahigkeit 

 herriihrenden, an deni Fliissigkeitselement 

 angreifenden Krat'te enthalten, wahrend die 

 Normalspannungen von der Zahigkeit und 

 dem Fliissigkeitsdruck p herriihren. So 

 resultieren dann die Gleichtingen: 



4k v 



Fiihrt man nun noch die 

 mittlere Geschwindigkeit ein, so 

 ergibt sich fiir das Druckgefalle c 

 die Beziehung 



8kv m 



t/i, t* o _. \J e . 



Vi + 



Diese Formel ist fiir enge Rohre durch 

 die Poiseuilleschen Versuche als richtig 

 nachgewiesen worden. Bei groBeren Rohr- 

 durchmessern ist jedoch das Druckgefalle 

 nicht mehr der ersten Potenz der mittleren 

 Stromungsgeschwindigkeit proportional, son- 

 dern naliezu der zweiten Potenz. Vor allem 

 0. Reynolds verdankt man die Erkenntnis, 

 daB dies in der Verschiedenheit der Bewe- 

 gungszustande begriindet ist. Nach ihm 

 gibt es fiir jeden Rohrdurchmesser eine 

 kritische mittlere Stromungsgeschwindigkeit 



k.K 



v = - ,' 

 jLi.d 



wo k den Koeffizienten der inneren Reibung, 

 H die spezifische Masse der Fliissigkeit, d den 

 Rohrdurchmesser, K eine absolute Konstante 

 bedeutet, die zwischen 1900 und 2000 liegt. 

 Stromungsbewegungen in dem Rohre, deren 

 mittlere Stromungsgeschwindigkeit unter- 

 halb von V liegt, gehen in der Weise vor sich, 

 die wir oben bei der Ableitung der Poiseuil- 

 leschen Formeln voraussetzten: es sind Paral- 

 lelstromungs- oder Laminarbewegungen. 

 Oberhalb von V ist die Laminarbewegung 

 nicht mehr stabil, es tritt eine ,,turbulente" 

 Bewegung ein und das Druckgefalle ist einer 

 hoheren Potenz von V proportional. 



5. Reibung und Hydrodynamik. Die 

 oben eingefiihrten Vorstellungen iiber die 

 Wirkung der inneren Reibung oder Zahigkeit 

 einer Fliissigkeit fiihren auch zur Ableitung 

 der allgemeinen Bewegungsgleichungen der 

 zahen Flussigkeiten. Man geht aus von den 

 Gleichgewichtsgleichungen der Elastizitat 



Hier bedeuten v t v 2 t' 3 die Geschwindig- 

 keitskomponenten am Orte x y z, JLI die 

 MaBe der Raumeinheit, A den Laplace - 

 schen Operator. 



Zum Vergleiche seien die Eulerschen 

 Gleichungen fiir eine ideale Fliissigkeit an- 

 geschrieben 



j_ _dVi _&Vi 



x 



/< 



/M-^ -^ 



at 



dx 



dy 



+ 



dz 



__ 



dx 



dv 3 dv 3 



dy dz 



dz 



Bei beiden Gleichungssystemen gilt als 

 vierte Gleichung noch die Kontinuitatsbe- 



dingung 



_dVi ,^2 , <Wa _ 

 dx dy dz 



Die Integration der Gleichungssysteme 

 ist in bestimmten speziellen Fallen moglich, 

 so z. B. im Falle der Bewegung einer Kugel 

 in der Fliissigkeit. Die Berechnung der Be- 

 wegung anders gestalteter Korper in einer 

 Fliissigkeit bietet groBe Schwierigkeiten. 

 Von praktischer Wichtigkeit ist die Bestim- 

 mung des Schiffswiderstandes. Diese erfolgt 

 auf Grund der Froudeschen Modellregeln 

 durch Modellversuche. Bei diesen Versuchen 

 w r ird ein dem zu bauenden Schiff geometrisch 

 ahnliches Modell mit einer noch anzugebenden 

 Geschwindigkeit auf einer Wasserflache ge- 

 schleppt, wobei die Schleppkraft, d. h. der 

 Modellwiderstand, gemessen wird. Man faBt 

 den Schiffswiderstand R als aus zwei Teilen 

 Rf und R w sich zusammensetzend auf: 



