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Knotenpunkt, die Enden Bauclie der im eine Schwingung, bei der in der Mitle and 

 Stab erzeugten stehenden Longitudinal- in x / ll|1( ' B /e der Stablilnge Knoten liegen: 

 schwingung. Die gauze Lange 1 des Stabes ! die Schwingungszahl ist die clreifache der- 

 ist also eine halbe Wellenlange der er- jenigen des (irundtones us\v. 



Fig. 6. 



regenden 



Die Fortpflanzungs- 

 von Longitudinalwellen 



Welle. 



geschwindigkeit v 



hangt nur vom Elastizitatsmodul E und der 

 Dichte d ab nach der Fonnel 



;E 



d 



Nach der allgemeinen Beziehung n = 

 ist also die Schwingungszahl 

 v 1 -,/E 



n =T = 



Die nachst mogliche Schwingungsart des 

 Stabes ist die, daB in der Mitte und an den 

 Enden Bauche der stehenden Welle sind. 



Fig. 7. 



Die Knoten liegen dann in 1 / li und 3 /4derStab- 

 lange. Die Schwingungszahl ist dann doppelt 

 so groB als beim Grundton. Es folgt dann 



Allgemein sind auBer dem Grundton 

 alle harmonischen Obertb'ne mo'glich. Die 

 Fignr 7 stellt fiir den Grundton und die 

 ersten drei Obertone diese Schwingungen 

 dar. Die Pfeile geben die Schwingungs- 

 richtungen an, die Kreuze die Knotenstellen. 



Ist ein Ende f est, das andere frei, so 

 ist dieses stets ein Bauch, jenes stets ein Knoten 

 der stehenden Schwingung. Ist kein weiterer 

 Knoten vorhanden, so haben wir den Grund- 

 ton; bei diesem ist also die ganze Lange 1 



des Stabes gleich 4- , die Schwingungszahl 



mithin n = - JT I/-T , also nur halb so groB 



als im vorigen Fall bei gleicher Lange des 

 Stabes. Die nachst mogliche Schwingung 

 ist derartig, daB noch ein Knoten in 2 /3 der 

 Lange des Stabes vom festen Ende an 

 gerechnet vorhanden ist; die entstehende 



1 TT 

 Schwingungszahl ist n == 3 . ^rr L '-,, also das 



Dreifache des Grundtones. Allgemein sind 

 in diesem Falle die mb'glichen Obertone alle 

 ungeradzahligen harmonischen Obertone des 

 Grundtones. Figur 8 gibt die Schwingungs- 

 formen fiir Grundton, ersten und zweiten 

 Oberton. 



Auch gespannte Saiten geben in analoger 

 Weise Longitudinalschwingungen. Natiir- 

 lich sind hier die Enden stets fest, also 

 Knotenpunkte der Schwingung. 



In der Mnsik werden diese Tone nicht 



