1014 



Schwingende Bewegungen 



sinusformiger Bewegungen zuriickfiihren. 

 Es ist daher der Miihe wert, sich rnit diesem 

 einfachen Bewegungsvorgang etwas ein- 

 gehender vertraut zu machen. 



ib) Beziehung zur Kreisbewegung. 

 Die sinusformige Bewegung, auch wohl 

 harmonische Schwingungsbewegung genannt, 

 steht in naher Beziehung zu der allerein- 

 fachsten periodischen Bewegung, der Kreis- 

 bewegung von gleichmaBiger Geschwindigkeit. 

 Bei letzterer bleibt der Abstand OP = = A 

 (Fig. 1) des Punktes P von einem Zentral- 

 punkte aus dauernd derselbe, wahrend der 

 Winkel a mit der Zeit dauernd zunimmt. 

 In Formeln: A == const., a cot -- 9?, wenn 

 co die Winkelgeschwindigkeit, d. h. die Zu- 

 nahme des Winkels a pro Zeiteinheit bedeutet 

 und (p der Winkel a zu Beginn der Zeitrech- 



nung fur t == ist. Projiziert man nun den 

 Punkt P rechtwinklig auf zwei zueinander 

 senkrechte, mit X X und Y Y bezeichuete 

 Achsen, so gilt bekanntlich die Beziehung: 

 OP x = x = Acosa, OP y = y=Asina. Die 

 Funktionszeichen cos und sin, die auch 

 bei Dreiecksberechnungen vorkommen, be- 

 deuten erne ganz bestimmte Abhangigkeit 

 der GroBen x und y vom Winkel a, die eut- 

 sprechend den in Fig. 1 enthaltenen geo- 

 metrischen Beziehungen fiir den Radius 

 A = 1 ein fiir allemal ausgerechnet und in den 

 sogenannten trigonometrischen Tabellen zu- 

 sammengestellt sind. Jedem Zahlenwerte von 

 a entspricht also ein ganz bestimmter 

 Zahlenwert von x und von y. Lauft nun der 

 Punkt P gleichformig im Kreise herum, so 

 wird jede seiner Projektionen P x und P y 

 dauernd zwischen den Werten + A und A 

 hin und her pendeln, nach einem Gesetze, 

 das durch die Beclingungen x = = A cos a - 

 A cos (cot+<p), resp. y= Asin a= A sin ( cot -J- 9?) 

 gegeben ist. Diese charakteristische Art 

 des Hin- und Herpendelns der Punkte P x 

 und Py bezeichnet man als erne sinusformige 

 oder harmonische schwingende Bewegung. 



DaB P x auch sinusformig sch\vingt ergibt 

 sich aus der Beziehung cos a = sin(a + 90). 



Wahrend man in der Trigonometric mit 

 dem Begriffe des Winkels eine bestimmte 

 Stellung seiner Schenkel zueinander, z. B. 

 mit a = 90 das Senkrechtstehen verbindet, 

 tritt diese geometrische Anschauung bei den 

 hier besprochenen Gesetzen stark zuriick. 

 Der Winkel a soil hier vielmehr ein MaB 

 fiir den vom Punkte P zuriickgelegten Weg 

 sein, den man durch Aa ausdriicken kann, 

 wenn man unter a die zu dem Zentriwinkel a 

 gehorige Bogenlange eines Kreises vom 

 Radius 1 versteht. Der Winkel a wird dann 

 nicht mehr in Graden, sondern durch eine 

 beliebige Zahl, das Verhaltnis von Bogen- 

 lange zu Kreisradius ausgedruckt. Es be- 

 deutet dann ein und dasselbe, ob man sagt 



a = 6,28.. =2n oder a = 360 



a = 3,14... = 7r a = 180 



a= 90 



a= 57,3.. 



a = l,00 



allgemein 



a = Z a= 57,3xZ 



a=G/57,3=Gjr/180 oder a=G. 



Bei der Winkelgeschwindigkeit co -- 1 

 wiirde der Punkt P auf dem Kreise vom 

 Radius A in jeder Sekunde den Weg Aa = 

 Acot A x 1 X 1 = A zuriicklegen, also in 2n, 

 d. h. 6,28 Sekunden den Weg Ax2yr, d. h. 

 den ganzen Kreisumfang 2nA. durchlaufen 

 haben. Fiir co=2 wiirde dies schon in 3,14 

 Sekunden geschehen sein. In der gleichen 

 Zeit wurden auch die Punkte P x und P y nach 

 eiuem Hin- und Herschwingen an ihre alte 

 Stelle gelangen. 



Man kaun sich die sinusformige Schwin- 

 gungsbewegung a = A sin cot auch dadurch 

 veranschaulichen, daB man graphisch zu 

 jedem Zeitpunkte den zugehorigen Ausschlag 

 a auftragt. Man erhalt danu die sogenannte 

 Sinuskurve (Fig. 2). Der Ausschlag a ist 

 zunachst null, wachst dann anfangs sclmell, 

 spater langsamer bis auf den maxiiualen 

 Betrag a = A an, nimmt wieder bis null ab, 

 nach der anderen, negativen Seite bis a = A 

 zu und geht schlieBlich wieder auf null 

 zuriick, von wo das Spiel von neuem beginnt. 

 Eine solche Sinuskurve wiirde z. B. eine an 

 einer Spiralfeder auf und ab schwingende 

 Ivugel(Fig.3) mit Schreibstift auf ein dahinter 

 vorbeigezogenes Blatt Papier aufzeichnen. 

 Eine solche Kugel fiihrt namlich eine sinus- 

 formige Schwingung aus. Die Sinuskurve 

 laBt den Schwingungsvorgang unmittelbar 

 erkennen, wahrend sich bei der Kreisbewe- 

 gung noch die zweite dazu senkrechte Schwin- 

 gung, die physikalisch gar nicht existiert, 

 hineinmischt; daher soil iin folgenden mehr 

 auf die Darstellung durch die Sinuskurve 

 Bezug genommen werden, wobei man sich 

 physikalisch am besten die an der Feder 

 auf und abschwingende Kugel vorstellt. 



