Si -liwingencle BeAvegungen 



lull 



physikalischen Vorgang bei der schwingenden 

 Kugel, daB die Geschwindigkeit beim Pas- 

 sieren der Ruhelage, also beim Ausschlag 

 a = am groBten und an den Umkehrpunkten 

 beim groBten Ausschlage a=A am klein- 

 sten, namlich wird, denn hier verlauft 

 die Kurve ein kleines Stuck wagerecht, d. h. 

 der Ausschlag andert sich einen kurzen 

 Augenblick gar nicht mit der Zeit. 



dv 

 = dt : 



-co 2 A sili >\ 

 = co 2 A sin (rot -f- jr), 



Fig. 9. 



In Figur 9b ist die Kurve, die den Verlauf 

 der Geschwindigkeit angibt, gezeichnet. Die 

 niatheniatische Ausrechnung liefert fiir a = 

 A sin co t 



v = -; r = co A cos cot = co A sin (cot + 1 ). 

 Clt iL 



Die Geschwindigkeit andert sich also 

 mit der Zeit auch sinusformig, hat aber gegen 

 den Ausschlag eine Phasenverschiebung von 



7t 



2 , derart, daB sie am groBten ist, wenn der 



Ausschlag ist und umgekehrt. DieFrequenz 

 der Geschwindigkeitsschwingung ist dieselbe 

 wie die des Ausschlages. Ihre Amplitude 

 ist einerseits der Amplitude A des Aus- 

 schlages proportional, andererseits der Kreis- 

 frequenz co der Schwingung, da eine schnellere 

 Schwingung natiirlich gro'Bere Geschwin- 

 digkeit bedingt. Eine Klaviersaite, deren 

 Amplitude 1 mm und deren Frequenz n=500 

 ist, hat z. B. eine maximale Geschwindigkeit 

 von 2ji. 500.1 mm/sec == 3,14 m/sec, also 

 eine ganz ansehnliche GroBe trotz der ge- 

 ringen Amplitude. 



3b) Beschleunigung. Die Beschleuni- 



dv 

 gung b = -77- ist das MaB derGeschwindigkeits- 



anderung pro Zeiteinheit, hat also zur Ge- 

 schwindigkeit die selbe Beziehung, wie die Ge- 

 schwindigkeit zum Ausschlag. Sie ist groB, 

 wo sich die Geschwindigkeit stark andert, 

 also wo die Geschwindigkeitskurve durch 

 null geht, und klein wo diese ein Maximum 

 hat. Auch hier ergibt sich aus der graphi- 

 schen Darstelluug (Fig. 9c) so wie aus der 

 genaueren mathematischen Ausrechnung 



daB auch die Beschleunigung sinusformig 

 verlauft mit gleicher Kreisfrequenz CD aber 

 einem Phasenunterschied von n/2 gegen die 

 Geschwindigkeit, also von n gegen den Aus- 

 schlag. Letzteres besagt, daB die Beschleuni- 

 gung in jedern Augenblick proportional dem 

 momentanen Ausschlag sein muB, nur von 

 entgegengesetztem Vorzeichen, d. h. dem 

 Ausschlag stets entgegen gerichtet. 



4. Mechanik 4a) Quasi-elastische 

 Kraft. Da nach dem Grundgesetz der Me- 

 chanik eine Beschleunigung stets eine Kraft 

 erfordert, die sie hervorruft und die der Be- 

 schleunigung proportional ist, so erfordert 

 eine sinusformig schwingende Masse eine 

 Kraft, die proportional dem Ausschlag zu- 

 nimmt und ihm stets entgegen gerichtet ist, 

 d. h. den Ausschlag zu verkleinern bestrebt 

 ist. Eine solche Kraft miissen wir also 

 irgendwie aufwenden, wenn wir eine Masse 

 in sinusformige Schwingungen versetzen 

 wollen. Solche Krafte sind aber vielfach 

 von selbst in der Natui , besonders als elastische 

 Ivrafte vorhanden. Eine elastische Feder 

 z. B. widersetzt sich dem Zusammendrticken 

 und Ausdehnen mit einer dem Ausschlage 

 proportionalen Kraft, so daB eine an ihr 

 hangende Masse nach einem AnstoBe tat- 

 sachlich die hier besprochenen sinusformigen 

 Schwingungen ausfiihrt. 



Beim Pendel ist die riicktreibende Kom- 

 ponente der Schwerkraft dem Sinus des 

 Ausschlagwinkels proportional, bei kleinem 

 Winkel also auch sehr nahe dem Ausschlag 

 selbst, so daB auch hier eine solche sogenannte 

 quasi-elastische Kraft vorhanden ist, und die 

 Schwingungen bei kleinen Ausschlagen sinus- 

 formig verlaufen. 



4b) Eigenschwiugung. Es laBt sich 

 auch umgekehrt zeigen, daB immer wenn 

 eine Masse nur der Einwirkung einer quasi- 

 elastischen I^raft unterliegt, bei irgend 

 welchem AnstoB eine sinusformige schwin- 

 gende Bewegung entsteht. Man sagt 

 dann, das betrachtete System besitzt eine 

 Eigenschw T ingung. Der Satz: Kraft 

 Masse X Beschleunigung laBt sich mathe- 

 matisch schreiben 



oder 



d 2 a 

 M ist die Masse, -rr^ die Beschleunigung, 



-Da die dem Ausschlag a entgegen wir- 

 kende und ihm proportionale quasi-elastische 

 Kraft. Der Faktor D driickt die Steifigkeit 

 der quasi-elastischen Kraft aus und ist 

 groB, wenn kleine Ausschlage a schon groBe 



