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Schwingende Bewegungen 



riicktreibende Krafte Da hervorrufen. Er 

 1st also eine Art Elastizitatsmodul. 



Man tiberzeugt sich durch Ausdifferen- 

 zieren leicht, daB die Gleichung durch den 

 Ansatz a = A sin (cot + 99) gelost 1st, wenn 



A und <p konnen dagegen 



nur co- f ist. 



beliebiggroB sein. Solange nur eine Schwin- 

 gung betrachtet wird, kommt es, wie schon 

 oben gezeigt wurde, auf die Phase 9? nicht 

 an. Man wahlt daher am einfachsten den 

 Zeitanfang t = so, daB 99 ==0 wird. Die 

 Amplitude A richtet sich nach der GroBe des 

 AnstoBes, durch die man die Eigenschwin- 

 gung erregt hat. Aus der Gleichung fiir co 



folgt fiir die Frequenz 



n == <>- 1/ , f ii 



f iir die 



Periode T == 2n 



Eine groBere Masse M 



gibt der Eigenschwingung eine groBere Trag- 

 heit, verlangsamt sie, eine groBere riicktrei- 

 bende Kraft D beschleunigt sie. Die Aende- 

 rung der Schwingungsdauer geht aber nurmit 

 der Wurzel aus beiden GroBen vor sich, bei 

 einer Verstarkung der Kraft auf das hundert- 

 fache wird die Frequenz nur zehnmal so groB. 

 Besonders wichtig ist, daB die Frequenz gar 

 nicht von der Amplitude A abhangt, daB also 

 bei einnial gegebeuer Masse und Elastizitat 

 ein schwingendes System stets dieselbe 

 Schwingungsdauer besitzt, auch wenn sich 

 die Amplitude der Schwingung andert. 

 Daher sind solche Systeme mit eiuer Eigen- 

 schwingung zur Zeitmessung hervorragend 

 geeignet und werden zur Uhrenregulierung 

 fast stets benutzt. Die normalen Uhren sind 

 nichts anderes, als ein Zahlwerk, das die 

 Anzahl der verstrichenen Eigenschwingungen 

 eines Pendels oder eines elastisch schwin- 

 genden Systems (Unruhe) anzeigt. 



4c) Energie. Die Energie eines in der 

 Eigenschwingung schwingenden, sich selbst 

 iiberlassenen Systems setzt sich einerseits aus 



Mv 2 

 der kinetischen Energie der Bewegung -~ , 



andererseits aus der potentiellen Energie, 

 der gegen die quasi-elastische Kraft geleis- 

 teten Arbeit zusammen, die z. B. in der ge- 

 spannten Feder oder dem gehobenen Pendel- 

 gewicht besteht. Diese berechnet sich aus 

 Kraft x Weg. Da aber die Kraft Da 

 sich mit dem Wege a andert, so muB die 

 Arbeit wahrend jedes Wegelementes da sum- 



a 



/* Da 2 



miert werden und man erhalt / Dada = - -. 



J * 



o 



Figur 10 veranschaulicht graphisch die 

 Summation derWegelemente ,,da", die mit der 

 mit a anwachsenden Kraft ,,Da" multipliziert 



das schraffierte Dreieck bilden, dessen In- 



halt in der Tat 





. Wahrend 





 der Schwingung, wo a=A sin cot ist, andern 



Kraft D 



sich auch die kinetische und potentielle 

 Energie, und zwar ergibt sich fiir die erstere 



bei Beachtung von co == | ~ : 



Mv 2 M D 



~ (A co t cos cot) 2 = ~ A 2 cos^t, 



a a <L 



fiir die potentielle Energie 



Beide sind also in ihrem Maximalwert 

 gleich groB, erreichen diesen aber zu ver- 

 schiedenen Zeiten. Fiir cot=0, JT, 2n usw., 

 also beim Durchgang durch die Mittellage 

 a=0, ist die kinetische Energie ein Maximum 



die potentielle null. Fiir cot = -'-, - ^, -...., 



a a u 



also in den Umkehrpunkteii der Be- 

 wegung bei a = ^A, ist die potentielle 

 Energie ein Maximum, die kinetische null. 

 Die Summe beider Energien zu beliebiger 

 Zeit ist 



- A 2 (sin 2 cot + cos 2 cot) = - A 2 

 2i LI 



also zu alien Zeiten gleich groB. Das war 

 nach dem Satze von der Erhaltung der 

 Energie zu erwarten, da ja das schwingende 

 System ohne alle auBeren Einwirkungen 

 sich selbst uberlassen blieb. Vom physi- 

 kalischen Standpunkte aus kann 

 man hiernach als das Wesen einer 

 Eigenschwingung den periodischen 

 Austausch einer bestimmten Ener- 

 giegro'Be zwischen zwei verschiedenen 

 Energieformen ansehen. Man beachte 

 noch, daB die Energie proportional dem 

 Quadrate der Amplitude, also bei doppelter 

 Amplitude viermal so groB ist. Formt man 



Mco 2 A 2 

 den Ausdruck fiir die Energie urn in } 



u 



so erkennt man, daB unter verschiedenen 

 Eigenschwingungen von gleicher Masse und 

 gleicher Energie der Ausschlag A um so 

 kleiner werden muB, je gro'Ber ihre Frequenz 

 co ist. Daher geben ein Pendel und eine an 

 einer Feder langsam auf und ab schwingende 



