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St -Invingende Bewegungen 



der Sinusform gering sind, so daB die hoheren, 

 harmonischen Glieder der Fourierschen 

 Reihe nur als Korrektur zu betracliten sind. 

 In anderen Fallen, z. B. beim Pendel, das 

 bei groBen Ausschlagen nicht mehr sinus- 

 formig schwingt, da dann die riicktreibende 

 Kraft nicht mehr proportional dem Aus- 

 schlag 1st, hat man es vorgezogen, von der 

 Sinusfunktion ganz abzugehen und fur die 

 hier vorliegende Abhangigkeit des Ausschlages 

 von der Zeit neue Funktionen, die soge- 

 nannten elhptischen oder Besselschen Funk- 

 tionen einzufiihren. d. h. sie ebenso wie die 

 Sinusfnnktionen tabellarisch festzulegen, zu- 

 mal diese Abhangigkeiten auch in anderen 

 Gebieten der Physik auftreten. 



2. Zusammensetzung sinusformiger 

 Schwingungen. Das nmgekehrte Problem, 

 die Zusammensetzung mehrerer schwingen- 

 der Bewegungen zu einer Resultierenden 

 tritt auch haufig in der Physik auf, z. B 

 wenn zwei elektrische Wechselstrome zu- 

 sammenflieBen, oder wenn mehrere Wellen- 

 bewegungen sich iiberlagern. Wir wollen 

 zunachst den Fall betracliten, daB alle 

 Einzelbewegungen in dieselbe Kichtung 

 fallen, so daB die resultierende Gesamt- 

 bewegung einfach die algebraische Summe 

 der Einzelbewegungen ist. 



2a) Gleiche Frequenzen. Hier gilt 

 zunachst der wichtige Satz, daB mehrere 

 Sinusschwingungen gleicher Frequenz stets 

 wieder eine Sinusschwingung gleicher Fre- 

 quenz ergeben, ganz gleichgiiltig. wie groB 

 die Amplitude!! und Phasen der einzelnen 

 Schwingungen sind. Man kann also durch 

 noch so vielseitige Kombination gleicher 

 Sinusschwingungen keinerlei neuartige Er- 

 scheinungen erzielen. Der Beweis laBt sich 

 rechnerisch am einfachsten dadurch fiihren, 

 daB man zunachst alle Einzelschwingungen 

 a l5 a 2 , a 3 ... zerlegt nach der Forme] 



a = A sin(cot cp) 



= A cos <p sincot + A sin cp cos cot 

 B sinojt -j- C cos cot 



wobei B = A cos q>; C = A sin <p also 1'B 2 -)- C 2 

 = A, C/B = tgq9 ist. Die resultierende 

 Schwingung laBt sich dann in gleicher Weise 

 wieder zusammensetzen: 



x r = x x + x 2 + x 3 . . . und y r = y 1+ y s + y s - ; . 

 Dadurch ergibt sich ohne weiteres die in 

 Figur 18 gezeichnete, dem Parallelogramm 

 der Krafte entsprechende Zusammensetzung 

 der beiden Schwingungen A x und A 2 zu A r . 



a 1 +a 2 +a 3 +... 

 (B 1 +B 2 +..)sincot + 

 B r sincot -j- 



A r sinfcot 



coscot 

 coswt 



Dieser Beweis liefert eine einfache geometri- 

 sche Konstruktion der resultierenden Schwin- 

 gung, wenn man die Schwingungen wie an- 

 fangs besprochen als rotierende Punkte dar- 

 stellt. Dann sind namlich die Komponenten 

 B - A cos <p und C = A sin <p nichts anderes 

 als die Projektionen x und y in dem Augen- 

 blick, in dem t = ist. Es ist dann also 



Fie. 18. 



In Figur 19 ist in gleicher Weise die Zusam- 

 mensetzung von drei Schwingungen dar- 

 gestellt, wobei die Hilfslinien weggelassen 

 sind. Diese Zusammensetzung gilt nicht 

 nur fiir t == 0, sondern fiir alle Zeiten. Denn 

 mit wachsender Zeit rotieren alle Punkte 

 P! P 2 P 3 P r mit gleicher Geschwindigkeit 

 um den Mittelpunkt 0; der Linienzug bleibt 

 in seiner gegenseitigen Lage unverandert, 

 rotiert wie eine starre Verbindung. Hatten 

 die einzelnen Schwingungen dagegen ver- 

 schiedene Frequenzen, wiirden also die 

 Punkte P verschieden schnell umlaufen, 

 so wiirde die Zusammensetzung zu jeder Zeit 

 ein anderes Resultat ergeben, ihre einfache 

 Bedeutung also verlieren. 



Man kann natiirlich die Sinuskurve der 

 resultierenden Schwingung auch aus den 

 Sinuskurven der einzelnen Schwingungen 

 konstruieren (Fig. 20), indem man die ein- 



Fig. 20. 



zelnen Ordinaten aj und a 2 iiberall zu a r zu- 

 sammensetzt. Wo a^ = ist wird a r = a^ 

 d. h. die beidenKurven ftir a r iind a, l schneiden 

 sich dort. Ebenso schneiden sich die a r - und 

 a 2 -Kurven dort, wo a,=0 ist. Man sieht auch 

 bier, daB die dick gezeichnete resultierende 

 Schwingung sinusformigen Verlauf hat. 



Die Amplitude der resultierenden Schwin- 

 gung braucht nicht starker zu sein als die 

 der Einzelschwingungen. wie schon der Fall 

 von Figur 19 zeigt. Insbesondere ergeben 

 zwei Schwingungen von gleicher Amplitude 

 eine resultierende Schwingung vor der 

 Amplitude null (Fig. 21 und 22), wenn die 



