Schwingende Systeme 



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nadel in einem KompaB kann z. B. Schvvingungen 

 urn die Nord-Siidrichtung ausfiihren. Es handelt 

 sich dabei um eine mechanisch-elektrische Eigen- 

 schwingung. Wir konnen sie aber auch zu den 

 rein mechanischen rechnen, da die magnetischen 

 Krafte, die die Nadel in ihre Ruhelage zu treiben 

 suchen, sich mechanisch ganz analog verhalten 

 wie elastische Krafte oder die Schwerkraft beim 

 Pendel. In gleicher Weise vvirken elektrostatische 

 Krafte auf einen elektrisch geladenen Korper, 

 der sich in einem elektrostatischen Felde be- 

 finclet. Bei den elastischen Schwingungen 

 der Luft, z. B. in einer tonenden Pfeife, setzt sich 

 ein Teil der kinetischen Energie in Warrne- 

 energie uni, da sich die Luft beim Zusammen- 

 driicken envarmt. Man behandelt aber auch 

 diese Schwingungen wie rein mechanische, indem 

 man die Warmeentwickelung als eine erhohte 

 Elastizitat der Luft in Rechnung setzt. Die 

 vorzunehmende Erhb'hung ist nicht unbetracht- 

 lich, sie betragt iiber 40%. 



Auf rein elektrische Eigenschwingungen 

 lassen sich z. B. die chernisch-elektrischen 

 Schwingungen zuriickfiihren, bei denen die 

 chemische Energie einer Polarisatipnszelle die 

 elektrostatische Energie eines elektrischen Kon- 

 densators vertritt. Eine solche Zelle kann nam- 

 lich die magnetische Energie eines Strornes auf- 

 nehmen and, wenn sie verbraucht ist, urugekehrt 

 wieder einen Strom, d. h. magnetische Energie 

 hervorrufen. Die Polarisationszellen wurclen 

 friiher in der Technik geradezu als elektrische 

 Kondensatoren benutzt. Die Eigenschwingungen 

 sind hier auch experimentell untersucht worden. 1 ) 

 Prinzipiell konnte auch eine Thermosaule, also 

 Warmeenergie statt chemischer Energie, das- 

 selbe leisten. Der Strom erzeugt gemaB dem 

 Pel tie r-Effekt einen Warrneunterschied der Lot- 

 stellen; dieser Warmeunterschied erzeugt als 

 Thermokraft umgekehrt wieder einen Strom in 

 entgegengesetzter Richtung, sobald der Primiir- 

 strom Null geworden. Der Versuch ist noch nicht 

 ausgefiihrt worden. 



Auch eine Dynamornaschine kann wie ein 

 elektrischer Kondensator wirken. Wird sie zu- 

 nachst vom Strom angetrieben, so lauft sie als 

 Motor und speichert kinetische Energie in sich 

 auf. Wird der Strom dann Null, so lauft die Ma- 

 schine als Generator, solange ihr Schwung reicht, 

 und erzeugt wahrend dieser Zeit einen Strom 

 entgegengesetzter Richtung, der wiederum die 

 Maschine, w r enn sie zur Ruhe gekommen ist, als 

 Motor in entgegengesetzte Rotation versetzt usw. 

 Dieser Versuch ist auch experimentell verwirk- 

 licht worden. 2 ) Man kann ihn auch als mechani- 

 sche Schwingung behandeln, bei der die magne- 

 tische Energie des Stromes die potentielle 

 mechanische Energie vertritt. 



Eine besondere Art der Eigenschwingung, die 

 man gewohnlich gar nicht dazu rechnet, ist die 

 Rotation. Die Rotationsbewegung kann in 

 zwei gleiche zueinander senkrechte Schwingungs- 

 bewegungen zerlegt werden, die in der Phase um 

 1 / 4 Periode gegeneinander verschoben sind. Dies 

 liiBt sich leicht an einem Fadenpendel erlautern, 

 das sowohl von vorn nach hinten als auch von 



a ) F. Kriiger, Phys. Zeitschr. n, 719, 1910. 



2 ) H. Busch, Stabilitat, Labilitat und Pen- 



delungen in der Elektrotechnik, Leipzig 1912. 



Fig. 1. 



links nach rechts schwingen kann. Wenn das 

 Pendel zunachst nur in der ersten Richtung AB 

 (Fig. 1) schwingtund wir ihm gerade im Umkehr- 

 punkte A oder B einen 

 seitlichen StoB von be- 

 stimmter Starke erteilen, 

 so ist die resultierende 

 Bewegung eine Rotation 

 um den Sch\vingungs- 

 mittelpunkt 0. Das Pen- 

 del setzt namlich einer- 

 seits seine Schwingungs- 

 bewegung AB fort, die 

 durch den senkrecht da- 

 zu erfolgten StoB nicht 

 beeinflufit wird, macht 

 aber andererseits gleich- 



zeitig eine Schwingung in der dazu senkrechten 

 Richtung (CO), die um */ 4 Periode ver- 

 schoben ist, da sie im Punkte A wo die Ge- 

 schwindigkeit der Schwingung AB gerade Null 

 ist, ihre groBte Geschwindigkeit hat. 



Das Eigentiimliche der Rotation besteht 

 darin, daB wahrend des ganzen Verlaufes die 

 kinetische und die potentielle Energie einzeln 

 konstant bleiben. _Die rucktreibende Zentral- 

 kraft tritt gar nicht in Wirksamkeit, da die Be- 

 wegung stets senkrecht zu ihr erfolgt. Sie hebt 

 nur die Zentrifugalkraft auf. Die kinetische 

 Energie der einen Schwingung wandelt sich da- 

 her einfach in die kinetische Energie der anderen 

 Schwingung um, die gesamte kinetische Energie 

 bleibt dauernd konstant. 



II. Schwingungen mit einem Freiheits- 

 grade. 



i. Allgemeines. Unter den schwingenden 

 Systemen zeichnen sich solche durch be- 

 sondere Einfachheit aus, die, wie man sagt, 

 nur einen Freiheitsgrad besitzen. Das 

 bedeutet, daB sie, sich selbst iiberlassen, 

 stets nur eine einzige ganz bestimmte Form 

 einer Eigenschwingung ausfiihren konnen, 

 die in den meisten Fallen sinusformig ist, 

 und daB zur Kennzeichnung ihres Schwin- 

 gungszustandes eine einzige GroBe, der 

 Ausschlag im weiteren Sinne ausreicht. 

 Das ist z. B. beim Uhrpendel und auch 

 bei den elektrischen Schwingungen ge- 

 schlossener Kondensatorkreise der Fall. Bei 

 letzteren entspricht dem Ausschlage die 

 sich mit der Zeit in ganz bestimmter Weise 

 andernde Elektrizitatsmenge im Kondensator. 

 Demgegeniiber kann z. B. eine schwingende 

 Saite eine groBe Zahl von verschiedenen 

 Schwingungsformen annehmen, auch geniigt 

 es nicht, nur einen einzigen Punkt der Saite 

 ins Auge zu fassen. Bei speziellen Schwin- 

 gungsformen bleiben z. B. bestimmte Punkte 

 der Saite vollkommen in Ruhe. wahrend 

 benachbarte Punkte zu beiden Seiten an 

 der Schwingung teilnehmen. Vollkommen 

 analog verhalten sich bei den elektrischen 

 Schwingungen die sogenannten offenen 

 Schwingungskreise, bei denen die strom- 

 fuhrenden Drahte selbst sich aufladen und 



