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Srhwingende Systeme 



wcnn wir die Schaukel als ein System mit des Fadens sei eine Kugel von der Masse M 

 jiur einem Freiheitsgrade betrachten, das , befestigt, die so groB ist, daB die Masse des 

 nur die eine Schwingung ausfuhren kann, Fadens dagegen versehwindet. Es sollen 

 die wir mit dem Begriff ,, Schaukel" ohne ferner nur horizontale Bewegungen der Kugel 

 weiteres verbinden. Abgesehen davon, daB | vorkommen, so daB die Wirkung der Schwer- 

 wir die Moglichkeit haben, diese wichtigste kraft auf die Kugel nicht in Betracht kommt. 

 Hauptschwingung mit beliebiger Annaherung Wenn wir die Kugel urn ein Stiick a seitlich 

 allein herzustellen, konnen wir auch sonst ablenken (Fig. 14), so treibt die Faden- 

 nieistens die iibrigen Schwingungen ver- spannung sie mit einer Kraft zuruck, die 

 nachlassigen, da sie mit der Hauptschwingung sich nach dem Parallelogramm der Krafte 

 nicht gleichwertig sind und dereri Schwin- fur kleine Ausschlage aus der Beziehung 



x:p = -- 2a: -^ zu x = -4- a == Da berechnet, 



wenn wir 



4p 



- D setzen. 



D ist also eine 



gungsbild praktisch nicht verandern. Eine 

 gewisse Vorsicht ist dabei freilich notwendig. 

 Die Querschwingungen der Schaukel, die 

 bei hohen Schwingungen aus der Haupt- 

 schwingung bei kleiner Unsymmetrie ent- 

 stehen, werden besonders wichtig bei der 

 Frage, ob die Schaukel an die seitlichen 

 Pfosten anschlagen kann; und bei der an 

 einer Spiralfeder auf und ab tanzenden, 



in Figur 10 gezeichneten Scheibe konnen I \ D ]/ p 



im Kesonanzfall die sonst zu vernach- den Artikel ,,Schwingende Bewegung"). 

 lassigenden Torsionsschwingungen eine voll- 1 Eine andere Schwingungsform kann die 

 standige Veranderung des Schwingungs- Kugel unter den gemachten Voraussetzungen 



i i i P i r n j-i'iiij.'-O .-^4- 



quasi-elastische Kraft, die proportional dem 

 Ausschlage a ist, so daB die Kugel M sinus- 

 formige Schwingungen vonjder Schwingungs- 



dauer T = 2jrl/^ = n\l ausfiihrt (vgl. 



5 = *]/ 



* 



verlaufes hervorrufen, so daB wir das System 

 als ein mit zwei Freiheitsgraden behaftetes 

 betrachten muBten. Die Zahl der Freiheits- 



nicht ausfuhren. Sie stellt ein System mit 

 einem Freiheitsgrade dar. 



Wenn wir ietzt zwei Kugeln an dem 



grade, die wir einem System zuschreiben, Faden befestigen, so haben wir analog den 



zwei Pendeln, die miteinander gekoppelt 

 waren, ein System mit zwei Freiheitsgraden. 



ist daher bis zu einem gewissen Grade will- 

 kurlich. Wir wollen unter Systemen von 

 unendlich vielen Freiheitsgraden solche ver- 

 stehen, deren verschiedene Schwingungs- 

 formen sich durch einige wenige Schwingungs- 



In der Tat erhalten wir die beiden Haupt- 

 schwingungen, wenn wir beide Kugeln 

 einmal nach derselben Seite (Fig. 15) und 



'o- 



O' 



Fig. 15. 



a. 



b. 



moglichkeiten und deren Ueberlagerung nicht ; ein anderes Mai nach entgegengesetzten 

 mehr geniigend genau darstellen lassen. I Seiten (Fig. 16) gleich weit ausheben und 



Von mechanischen Systemen kommen fast gleichzeitig loslassen. Es folgt schon aus 

 ausschlieBlich die elastischen Korper und Symmetrie, daB hierbei keine VergroBjerung 

 zwar besonders solche von einfachen Formen des Ausschlages einer Kugel auf Kosten 

 in Betracht. Das Neuartige bei diesen ist, der anderen erfolgen kann. Wird dagegen 

 daB derganze Korper in sich in Schwingungen nur eine Kugel allein angestoBen, so leuchtet 

 gerat. Wir dlirfen uns nicht mehr die 

 Schwingimgsmasse an einem Punkte kon- 

 zentriert denken, der durch eine als masselos 

 angenommene Feder oder dgl. hin und 

 her gezogen wird; Schwingimgsmasse und 

 elastische Kraft sind vielmehr iiber den 

 ganzen Korper gleichmaBig verteilt, jeder 

 einzelne Punkt des Kb'rpers bildet gewisser- 

 maBen ein kleines, schwingungsfahiges 

 System. Ein Beispiel wird diesen Unter- 

 schied am besten erlautern. 



Zwischen den Punkten A und B im 

 Abstand 1 (Fig. 13) sei ein Faden gezogen, 

 der durch das schwere Gewicht p sehr 

 straff angespannt w rd, etwa indem der Faden 

 bei B tiber eine Kolle lauft. In der Mitte 



M 



Fig. 13. 



Fig. 14. 



B. 



Fig. 16." 



Fig. 17.1 



ohne weiteres ein, daB dann die andere 

 Kugel nicht dauernd in Kuhe bleibt, also 

 Schwebungserscheinungen eintreten, d. h. 

 beide Hauptschwingungen erregt sind. 



Ganz analog wiirden wir bei drei Kugeln 

 auf dem Faden ein System mit drei Freiheits- 

 graden und drei Hauptschwingungen (Fig. 

 17a, b, c) haben, bei vier Kugeln vier Freiheits- 



