Srhwingende Systeme 



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grade usw. Nun besitzt aber der Faden 

 an sich auch eine trage Masse. Ein einfacher 

 gespannter Faden ohne Kugeln muB daher 

 auch Schwingungen ergeben und zwar der- 

 selben Art, als wenn auf ihm eine sehr groBe 

 Zahl von Kugeln, jede mit entsprechend 

 kleiner Masse, dicht nebeneinander auf- 

 gereiht waren, da ja die Masse des Fadens 

 gleichmaBig iiber seine ganze Lange verteilt 

 ist. Das bedeutet aber, daB der Faden un- 

 endlich viele Freiheitsgrade hat und daher 

 unendlich viele Hauptschwingungen aus 

 fiihren kann. Jeder Teil des Fadens kann 

 gegen seine Nachbarn Schwingungen aus- 

 fiihren, ist aber gleichzeitig mit ihnen ge- 

 koppelt und sucht sie zum Mitschwingen 

 zu bewegen. In der Physik pflegt man die 

 Schwingungen eines solchen Fadens als 

 Saitenschwingungen zu bezeichnen. Sie 

 sind theoretisch wie experimentell sehr 

 eingehend untersucht worden, und diese 

 Untersuchungen bilden die Grundlage, auf 

 der sich die Theorie der iibrigen Schwingungs- 

 erscheinungen bei unendlich vielen Freiheits- 

 graden aufbaut. Es soil daher auch hier auf 

 sie etwas naher eingegangen werden. Auf 

 eine strenge Ableitung der Kesultate muB 

 freilich verzichtet werden, da die Theorie 

 solcher aus unendlich vielen unendlich kleinen 

 Teilen bestehender Korper nur mil" Hilfe 

 von Differentialgleichungen zu Ibsen ist. 



2. Saitenschwingungen. Unter einer 

 Saite versteht man physikalisch einen Korper, 

 der im wesentlichen nur nach einer Richtung 

 hin ausgedehnt ist und keine Steifigkeit 

 besitzt, d. h. im ungespannten Zustande 

 einer Verbiegung keine Krafte entgegensetzt. 

 Die auf die einzelnen Teile der Saite wirken- 

 den Krafte werden dann nur durch die 

 Spannung der Saite hervorgerufen. Ist 

 die Saite gerade ausgestreckt, so heben sich 

 die Zugkrafte nach beiden Richtungen 

 gegenseitig auf; ist dagegen die Saite (etwa 

 wahrend einer Schwingung) gekriimmt, so 

 wirkt eine resultierende Kraft, die die Saite 

 wieder gerade zu strecken sucht und die 

 um so grbBer ist, je groBer die Krummung 

 an der betreffenden Stelle und je groBer 

 die Anspannung der Saite ist. Die wirkliche 

 Saite, etwa eine Klavier- oder Violinsaite, 

 ein Faden, Draht oder Gummischlauch, wird 

 mit der physikalischen nur iibereinstimmen, 

 wenn die von der Anspannung herriihrenden 

 Krafte die in Wirklichkeit stets vorhandenen 

 Krafte der Steifigkeit stark iiberwiegen. 

 Auf schlaff gespannte Saiten ist daher die 

 einfache Theorie der Saite nicht mehr an- 

 wendbar, sie laBt sich aber dahin erweitern. 



2a) Theorie der Hauptschwin- 

 gungen. Wir wollen zunachst wieder die 

 verschiedenen Hauptschwingungen aufsuchen, 

 durch deren Ueberlagerung wir dann jede 

 beliebige Schwingungsform erhalten kb'nnen. 



Die erste Hauptschwingung, die ,,Grund- 

 schwingung'', einer an zwei Punkten be- 

 festigten Saite ist die durch Figur 18, a bis d, 

 gekennzeichnete Bewegung. Jeder einzelne 

 Teil der Saite fiihrt eine sinusformige 

 ichwingende Bewegung senkrecht zur Saite 



Geschwindigkeiten null 



a 



Krafte 



Krafte null 



GeschwmdigUeiten 



c. 



Geschwindigkeiten null 

 Geschwindigkeiten 



t r t 



Krafte null 

 Fig. 18. 



aus. Die maximalen Ausschlage sind in der 

 Mitte am groBten, nehmen nach beiden 

 Seiten hin nach einer Sinuskurve ab und 

 sind an den Befestigungspunkten natiirlich 

 Null. In dem Augenblick, wo die Saite nach 

 einer Richtung am weitesten ausgeschwungen 

 ist (Fig. 18 a), bleibt sie einen Moment lang 

 ihrer ganzen Lange nach in Ruhe, indem die 

 Bewegung uberall gleichzeitig ihre Richtung 

 umkehrt. Wegen ihrer Krummung treten 

 aber sofort die resultierenden Spannungs- 

 krafte in Wirkung und treiben die Saite der 

 Mittellage zu. Diese wird wieder auf der 

 ganzen Lange gleichzeitig passiert. Die Ge- 

 schwindigkeit ist in der Mitte der Saite, 

 wo wegen der groBten Krummung in der 

 Lage a auch die groBten Krafte auftraten, 

 am groBten. Die Saite schwingt dann wegen 

 ihrer kinetischen Energie iiber die Mittel- 

 lage b hinaus bis in die Lage c. Hier kehrt 

 nach einem Moment der Ruhe wieder die 

 Bewegung um und geht iiber die Lage d 

 wieder zur Lage a iiber. Der Schwingungs- 

 verlauf ist also ganz ahnlich dem, als wenn 

 die ganze trage Masse der Saite in einer Kugel 

 auf der Mitte der Saite konzentriert ware. 

 Die Dauer einer ganzen Schwingung ist 

 durch die Gleichung 



bestimmt; in Worten: die Schwingungsdauer 

 T ist um so grb'Ber, die Schwingung verlauft 

 um so langsamer, je grb'Ber die Lange 1 und 

 die Masse in der Langeneinheit, also bei 



