Schwingende Systeme 



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ubrigen iiberhaupt nur moglichen Schwin- 

 gungsformen der Saite lassen sich daher als 

 eine Ueberlagerung von Grundschwingung 

 und Oberschwingungen auffassen. Dieser 

 wichtige Satz entspricht dem Fourierschen 

 Theorem (s. den Artikel ,,Fouriersches 

 Theorem-'), daB sich jede periodische 

 Bewegung eines einzelnen Punktes als Ueber- 

 lagerung sinusfb'rmiger Schwingnngen mit 

 den Periodenzahlen 1:2:3 ... darstellen liiBt. 

 Auch hier wird in den meisten praktischen 

 Fallen die Amplitude um so kleiner, je groBer 

 die Ordnungszahlist. Daher spielen die hohen 

 Oberschwingungen meist nur eine unwesent- 

 h'che Rolle. Die sich iiberlagernden Grund- 

 und Oberschwingungen sind im allgemeinen 

 nicht in Phase miteinander. Es gibt dann 

 weder einen Zeitpunkt, in dem die ganze 

 Saite gleichzeitig in Ruhe ist, noch einen, 

 in dem die ganze Saite die Mittellage passiert, 

 da, wenn dies etwa fiir die Grundschwingung 

 der Fall ware, sich die Oberschwingungen in 

 einer anderen Bewegungsphase befinden, 

 und umgekehrt. Auch Knotenpunkte treten 

 dann nur an den beiden Enclen, den Be- 

 festigungspunkten, aber nicht mehr auf der 

 Saite selbst auf, da die Knotenpunkte der 

 verschiedenen Oberschwingungen nicht zu- 

 sammenfallen. Da die Perioden der Grund- 

 und ersten Oberschwingungen stark ab- 

 weichen, treten eigentliche Schwebungs- 

 erscheinungen meist nicht auf. Die Gestalt 

 der Saite nimmt vielmehr nur eine mehr 

 oder weniger unregelmaBige Form an. Die 

 schwingende Bewegung der einzelnen Teile 

 der Saite in senkrechter Richtung besteht 

 dann auch in einer entsprechenden Ueber- 

 lagerung sinusforrniger Schwingungen. 



Man konnte meinen, daB mit der theore- 

 tischen Erkenntnis, daB jede noch so kompli- 

 zierte Saitenschwingung aus einer Ueber- 

 lagerung von Grund- und Oberschwingungen 

 bestehe, nicht viel gewonnen sei. Und doch 

 liefert uns dies Resultat eine Fiille inter- 

 essanter Folgerungen. Zunachst hat diese 

 Zerlegung vom musikah'schen Standpunkte 

 aus groBe Bedeutung. Wir empfinden 

 namlich merkwiirdigerweise gerade die sinus- 

 formige Schwingung als das, was wir als 

 reinen musikalischen Ton bezeichnen und 

 ein geilbtes Ohr findet aus einem Zusammen- 

 klang diese verschiedenen Tone heraus, 

 fiihrt also eine der mathematischen genau ent- 

 sprechende Zerlegung komplizierter Schwin- 

 gungen aus. Aber auch physikalisch lassen 

 sich aus der Mb'glichkeit der Zerlegung 

 wichtige Folgerungen ableiten. Erregt 

 man die Saite an einer bestimmten Stelle, 

 etwa durch Zupfen wie bei der Zither, so 

 konnen diejenigen Oberschwingungen nicht 

 entstehen, die an der Erregungsstelle einen 

 Schwingungsknoten haben und die ubrigen 

 Oberschwingungen werden um so starker 



erregt, je niiher die Erregungsstelle mit 

 einem ihrer Schwingungsbauche, den Stellen 

 der groBten Bewegung, zusammenfallt. 

 Bringt man umgekehrt eine bestimmte 

 Stelle einer schwingenden Saite zur Ruhe, 

 etwa durch ein kurz dauerndes, loses Auf- 

 legen des Fingers, so wird jede der Schwin- 

 gungen um so starker gedampft, je groBer 

 ihre Bewegung an der beruhrten Stelle ist, 

 und es werden im wesentlichen nur diejenigen 

 Schwingungen iibrig bleiben, die dort einen 

 Knotenpunkt besitzen. Die Klangfiille 

 bei einem Klavier, d. h. das richtige Ver- 

 haltnis der Grund- und Obertone beruht 

 also wesentlich mit darauf, daB der Anschlag 

 und die Dampfung der Saiten an der richtigen 

 Stelle. erfolgt. 



2b) Theorie der stehenden Wellen. 

 AuBer dieser von der Zahl der Freiheits- 

 grade und den Hauptschwingungen aus- 

 gehenden Theorie gibt es noch eine andere, 

 von der bisherigen durchaus verschiedene 

 Darstellungsweise der Bewegungsvorgange 

 von Saiten. Diese entspricht dem Huyghens- 

 schen Prinzip bei der Ausbreitung von 

 Licht- und Schallwellen und geht davon aus, 

 daB sich auf einer langen Saite kleine Aus- 

 biegungen wellenartig fortpflanzen (Fig. 22). 



a. 



b.' 



* 



9-H 



Fig. 22. 



Man kann dies leicht zeigen, indem man 

 gegen ein lang ausgespanntes Seil mit der 

 scharfen Handkante einen kurzen Schlag 

 gibt. Die Erschiitterung pflanzt sich dann 

 mit einer ganz bestimmten Geschwindigkeit 

 langs des Seiles fort, indem das Seilim ubrigen 

 vollkommen ruhig bleibt. Ware das Seil 

 unendlich lang, so wiirde die Welle immer 

 weiter laufen. Ist aber das Seil an seinen 

 Enden befestigt, so wird die Welle am Ende 

 reflektiert (Fig. 22, c, d, e) und lauft wieder 

 zum Anfang zuriick (f), wo sie abermals 

 reflektiert wird usw. Die Theorie zeigt nun, 

 daB man jeden Anfangszustand der Saite 

 in eine Summe soldier Elementarwellen 

 auflb'sen kann und daB die weiteren Be- 



