Schwingungen (Erzwungene Scrrwingungen i 



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aufstelleu. Eine besondere Klasse der elektro- 

 magnetischen Schwingungen bildcn die op- 

 tischen, die auch besonders behandelt werden 

 sollen. 



I. Mechanische Schwingungen von 

 Punkten und Punktsystemen. 



A. Erzwungene Schwingungen eines 



Systems von einem Freiheitsgrad mit 



sinusformiger Eigenschwingung. 



I. Schwingungsgleichung und Schwin- 

 gungsform bei ungedampfter sinusfor- 

 miger Erregung. Ein System von einem 

 Freiheitsgrade der Bewegung, d. h. ein 

 System, dessen Konfiguration in jedem 

 Augenblick durch eine einzige, von der Zeit 

 abhiingige Variable bestimmt ist, und das, 

 sich selbst ilberlassen, Eigenschwingungen 

 von gewisser, durch seine Natur bedingter 

 Frequenz ausfuhrt, gibt erzwungene Schwin- 

 gungen einfachster Art. Typisch ist der 

 Fall eines clerartigen Systems, dessen Eigen- 

 schwingungen exponentiell gedampfte sinus- 

 formige Schwingungen sind von der Form 

 (1) x == 2te- (i t sin (cot -f a-) 



Hier bedeutet x die jeweilige Elongation aus 

 der Ruhelage, co die Kreisfrequenz oder 

 zyklische Schwingungszahl (Zahl der Schwin- 

 gungen in der Zeit 2n = 6,2832 Sekunden) = 



2?i 



-sr, wenn T die Schwingungsdauer (Periode) 



ist; $ ist eine Phasenkonstante, 2( die Am- 

 plitudenkonstante (Amplitude zur Zeit t == o) 

 und d die Dampfungskonstante oder Damp- 

 fung schlechthin, die mit dem naturlichen 

 logarithmischen Dekrement b der ganzen 

 Schwingung verbunden ist durch die Be- 

 ziehung 



Eigenschwingungen (vgl. den Artikel 

 ,,Schwingende Bewegung") 



f] 2 Y f] V 



(3) M dt2 : -Dx-K^ 



(*) 



Setzt man 



"=*-- 



M 



(2) 



b = (5T = 



CO 



Ein solches System ist z. B. ein Massen- 

 punkt, der sich nur langs einer festen Ge- 

 raden (der x-Achse) bewegen kann, und auf 

 dieser einen bestimmten Punkt (x - - o) als 

 Gleichgewichts- oder Ruhelage besitzt, nach 

 der er mit einer der Ablenkung x proportio- 

 nalen Kraft - Dx zuriickgetrieben wird, 

 wenn er sich daraus entfernt. Die in der 

 Entfernung x = 1 auf ihn wirkende Kraft, 

 die Direktionskraft D, ist in diesem Fall 

 konstant. AuBer der riicktreibenden Kraft 

 - Dx wirkt auf ihn noch die hemmende, 



dx 



der jeweiligen Geschwindigkeit u = -TT pro- 



portionate dissipative, d. h. energiezer- 



streuende Kraft Rj Ist M die Masse 



dt 



des Punktes, so ist die Differentialgleichung 

 seiner Bewegung ohne Wirkung auBerer 

 Krafte, also die Differentialgleichung seiner 



so ist (1) das allgenieine Integral der Glei- 

 chung (3) fur den Fall, daB co > d ist. 

 Anderenfalls ergeben sich Exponential- 

 ausdriicke, welche aperiodisch gedampfte, 

 sehr schnell erloschende Bewegungen dar- 

 stellen, die hier nicht interessieren. 



Fiigt man zu der rticktreibenden und der 

 hemmenden Kraft auf der rechten Seite 

 von (3) noch eine periodische, nur von t. 

 nicht auch von der Lage x des Punktes ab- 

 hangende Kraft S(t) hinzu, so erhalt man die 

 Differentialgleichung der erzwungenen 

 Schwingung 



r! 2 x dv 



M4^- = --Dx-K- -+S(t). 



(5) 



Sie ist einfach losbar, wenn die einge- 

 pragte Kraft oder ,,St6rungsfunktion" S(t) 

 selbst eine sinusformige Schwingung ist. 

 Der sich dabei ergebende einfachste Fall der 

 Bewegungsgleichung (5) 



- + R + Dx = A' sin vt 



(6) 



oder nach Division mit M 



(6a) -^+2a-^+co 2 x = Asini't 



hat die allgenieine Lb'sung 



(7) x = a sin (rt 0) + 2te~ J t sin (cot + -9-) 

 wo 



A 



a = 



(8) 



tg0 = 



v z + 4 i' 2 <5 2 ' 

 2vd 



co 



sin = 



cos = 



2 

 2vd 



i' 2 ) 2 + 



(Wo 2 



Hier ist v die (Kreis-) Frequenz der er- 

 regenden ungedampften Schwingungen, A 

 die Amplitude der Erregung, eine Phasen- 

 konstante, fur welche der kleinste, aus den 

 Gleichungen (8) sich ergebende Winkel zu 

 setzen ist. 



Die resultierende Bewegung setzt sich, 

 wie aus (7) folgt, zusammen aus der er- 

 zwungenen Schwingung a sin (rt 0) mit 

 der Periode der erregenden Kraft und der 

 Eigenschwingung 9te (!t sin (cot -f- $) mit der 

 Eigenperiode co des resonierenden Systems. 



