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Schwingimgen (Erzwungene Schwingungen) 



tude ae-t und die Phasenkonstante sind 



Ae-st 



e) 



- e)T + 



= co 2 - * 2 +(<5 e) 



sm 



e) 



] [ C0 2 _ _ 



__ g )2 



cos = 



- - v 2 + (6 e) 2 ] 2 + 4*8(( e) 2 



Hier hangt die Amplitude auBer von 6 

 auch noch von der Differenz 6 e der 

 beiden Dampfungen ab. Ferner kann hier 

 die Phasenverzb'gerung negativ werden, d. h. 

 in ein Vorauseilen der erzwungenen Schwin- 

 gung iibergehen, wenn namlich d < ist. 

 1st <5> e, so geht die Phasendifferenz 

 von liber + 90 bis + 180, wenn v von 

 bis oo wachst; ist d < e, so geht sie ebenso 

 von iiber 90 bis - - 180. ' Die Phasen- 



differenzen 



n 

 T 



(d. h. i 90) treten fur 



v= Jco 2 + (6 e) 2 ein, also fiir einen dicht 

 bei (O gelegenen Wert von v. Ist 6 e 

 sehr klein, so ist die Phasendifferenz fiir alle 



Werte von v < Vco 2 + (~d e) 2 nahezu Null, 

 fiir alle groBeren nahezu + 180bezw. 180: 

 nur in unmittelbarer Umgebiing der Stelle 

 v == Vco 2 +(<5 g) 2 ist sie hiervon merklich 

 verschieden, sie steigt hier auf einer kurzen 

 Strecke plotzlich von auf 180 an. Vgl. 

 das analoge Verhalten bei ungedampfter Er- 



klingt an, erreicht ein Maximum und fallt 

 dann allmahlich auf Null herab. Verhaltnis- 

 maBig einfach wird das Bild, wenn die Fre- 

 quenzen beider, v und co, gleich sind. Die 

 Figur 4 zeigt das Schwingungsbild fiir das 

 natiirliche logarithmische Dekrement b == 0,2 

 der Eigenschwingung und b == 0,08 der er- 

 regenden Schwingung in diesem Falle. 



Wie bei den ungediimpften erregenden Schwin- 

 gungen konnen auch hier gleichzeitig mehrere 

 erregende Schwingungen wirken, die sich aber 

 nicht nur durch ihre Frequenzen, sondern auch 

 durch ihre Dampfungen unterscheiden konnen. 

 Die einzelnen erzwungenen Schwingungen lagern 

 sich ebenfalls iibereinander. Fiir alle Formen 

 von erregenden Schwingungen S(t), die sich aus 

 exponentiell gedampften Sinusschwingungen 

 zusammensetzen lassen, kann somit die er- 

 zwungene Schwingung hier berechnet werden. 

 Doch wird das Bild derselben sehr uniibersichtlich. 



5. Bestimmung der Frequenz und der 

 Dampfung aus der Resonanzkurve. Aus 

 der Resonanzkurve laBt sich die Eigen- 

 frequenz o) und die Dampfung d (bezw. das 

 logarithmische Dekrement b) des resonieren- 

 den Systems bestimmen, indem man die in 

 Nr. 2 angegebenen Beziehungen zwischen co, 

 d und der Resonanzfrequenz v r und die 

 Formeln fiir den Verlauf der Intensitat bezw. 

 Amplitude in der Umgebung der Resonanz- 

 stelle benutzt. 



Ist die Eigenfrequenz co schon bekannt, 

 so erhalt man sofort ohne nahere Kenntnis 

 der Resonanzkurve 



(15) 



d == 



- v r 



und 



regung. 



Die erzwungene Schwingung ist selbst 

 gedampft und zwar mit der Dampfung e 

 der erregenden Schwingung. 



Der Vorgang wird also nicht mehr nach 

 einiger Zeit stationar wie bei ungedampfter 



2nd -i 



b = =2^/1 



co 



Ist co aber auch uubekannt, so muB man 

 wenigstens zwei Punkte der Resonanzkurve 

 kennen, d. h. zwei Paar zusammengehb'rige 



Erregung, sondern die Schwingung, ent- , Werte von Erregungsfrequenz v und zu- 



gehoriger erregter Intensitat oder Amplitude. 

 Sehr gut ist es, wenn eines dieser Paare fiir 



standen aus der Uebereinanderlagerung der 



erzwungenen und der Eigenschwingung, 



1 h 



0,8 



0.6 



0.4 



Q2 







0,2 



0.4 



D.6 



08 



1 L- 



Mm^mm 



Fig. 4. Erzwungene Schwingungen eines zurzeit t = in Ruhe befindlichen gedampften Systems 



bei Resonanz mit der (gedampften) erregenden Schwingung. Strich-punktierete Kurve : 



Amplitudenkurve der Eigenschwingung (nat. log. Dekrem. b=0,2). Ausgezogene Kurve : 



Amplitudenkurve der erregenden Schwingung (nat. log. Dekrem. b = 0,08). Gestrichelte 



Kurve : Amplitudenkurve der resultierenden Schwingung. 



