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Schwingungen (Erzwungerie Scrnvingungen) 



einfiihrt. Diese Potenzreihe umfaBt nicht 

 alle moglichen Formen, die die riicktreibende 

 Kraft iiaben kann; sie enthalt z. B. nicht 

 die symmetrischen Rrafte, welche von ge- 

 raden Potenzen der Entfernung x abhangen. 

 Um auch diese zu beriicksichtigen, muB man 

 etwa setzen 



(21) f(x)= -Dxq=D'x 2 D"x 3 q=... 



und dte oberen Vorzeichen fiir positive, die 

 unteren fiir negative Ausschlage x gelten 

 lassen. Die Reihe kann sich natiirlich auch 

 auf eine endliche Anzahl von Gliedern be- 

 schranken. Wird f(x) = -Dx--D'x 2 , so 

 erhalt man den theoretisch einfachsten Fall 

 unsymmetrischer Kraft (unsymmetrischer 

 Elastizitat) usw. 



Eine andere Reihe interessanter Falle er- 

 gibt sich, wenn man f(x) = - Dx laBt, aber 

 fiir die dampfende Kraft R einen anderen 

 Ansatz macht 



dx 



dx 



dx\ 3 



(22) 



wobei auch wieder die Vorzeichen der Glieder 

 mit geraden Potenzen alternierend gewahlt 

 werden miissen, wenn die hemmende Kraft 

 zu beiden Seiten der Ruhelage symmetrisch 

 wirken soil. 



Im allgemeinsten Falle ko'nnen die An- 

 satze (21) und (22) kombiniert vorkommen. 

 In alien diesen Fallen erhalt man Eigen- 

 schwingungen von komplizierter, teils sym- 

 metrischer, teils unsymmetrischer Form. 



LaBt man auf ein solches System eine 

 ungedampfte sinusformige Kraft S(t) = 

 A' sin vi wirken, so erhalt man eine rein 

 periodische erzwungene Schwingung von der 

 Frequenz v der Kraft S(t), der sich eine ge- 

 dampfte, der Eigenschwingung mehr oder 

 weniger ahnliche Schwingung iiberlagert. 

 Nach deren Erloschen bleibt nur die er- 

 zwungene Schwingung. Diese ist zwar rein 

 periodisch, aber keineswegs mehr einfach 

 sinusf ormig. Sie ist somit durch eine Fourier- 

 reihe darstellbar, enthalt also harmonische 

 Partialschwingungen von den Frequenzen 

 v, 2v, 3v usw. 



Es ist freilich immer moglich, auch bei eineru 

 solchen System rein sinusformige erzwimgene 

 Schwingxingen zu erzeugen. Dazu mufi S(t) von 

 geeigneter Form sein, die man leicht erhalt, indeni 

 man in Gleichung (19) x = a sin vt setzt und 



S(t) berechnet. Wenn f (x) und R!x, - durch 



Potenzreihen darstellbar sind, so ergibt sich fiir 

 S(t) immer eine Fourierreihe mit der Grand - 

 frequenz v. Sind die Abweichungen von dero 

 linearen Kraft- und Dampfungsgesetz nur klein, 

 (I. h. sind die Koeffizienten der hoheren Po- 

 tenzen in den Entwickelungen fiir f und R klein, 

 so iiberwiegt das Glied mit der Grundfrequenz v. 



Im allgemeinen ist die hier angedeutete Frage von 

 keiner besonderen Bedeutung. 



7. Kombinationsschwingungen und 

 -tone. Wichtig und interessant ist das Ver- 

 halten eines Systems mit nicht-sinusformiger 

 Eigenschwingung unter der Einwirkung 

 mehrerer Sinusschwingungen versclu'edener 

 Frequenz. Einen derartigen Fall hat He 1m- 

 holtz zuerst behandelt, um die Entstehung 

 der Kombinationstone zu erklaren. Ein 

 System mit unsymmetrischer Elastizitat ein- 

 fachster Art wird von zwei Sinusschwin- 

 gungen mit den Frequenzen p und q erregt. 

 Die Bewegungsgleichung ist 



cl t " ( ] t 



- f sin pt g sin (qt + c) 



oder nach Division durch M 



(24) 



dt 2 



+ f ' sin pt + g' sin (qt + c) = 0. 



Helmholtz setzt zur Integration x als 

 Funktion einer neuen HilfsgroBe 77 in der 

 Form an 



Durch Einsetzen in (24) erhalt man Glieder 

 mit 77, solche mit 77 2 , mit rf usw. FaBt man 

 die Glieder gleicher Potenzen zusammen und 

 setzt ihre Koeffizienten gleich Null, so er- 

 geben sich zur formalen Befriedigung der 

 Gleichungen (24) die Gleichungen 



(26) 



dt 2 



g'i sin (qt + c) = 

 >^+w 2 x 2 + ax x 2 = 



wobei 

 (27) 



Die erste dieser Gleichungen ist die 

 Gleichung einer erzwungenen Schwingung, 

 die aus zwei Sinusschwingungen mit den 

 Frequenzen p und q besteht. Mit Weg- 

 lassung des gedampften Eigenschwingungs- 



gliedes 3fe- Jt sin (o>t-f- 6>), wo co == Vcoo 2 ^ 2 

 ist, lautet daher das Integral x dieser ersten 

 Gleichung 



(28) Xj == gsin (pt ^)-f a sin (qt + c ip), 



wobei Q und a die Amplituden, ^ und ip die 

 Phasenkonstanten sind, die sich, wie friiher 

 angegeben, berechnen lassen. Dieser Aus- 

 druck (28) von x a wird in die zweite Glei- 

 chung des Systems (26) eingesetzt. Das 



