Schwinguigeh (Erzwungene Schwingungen) 



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Glied aXj 2 stellt dabei die auBere Kraft dar, 

 welche auf ein Schwingungssystem mit ex- 

 ponentiell gediimpfter sinusformiger Eigen- 

 schwingung wirkt. Diese Kraft 1st hier also 



(29) ax x 2 =^ a0 8 sin 8 (pt 7) 



+ ao 2 sin 2 (qt-fc y) 

 + 2ctQO sin (pt %) sin (qt-f c y). 



Durcli bekannte Umformung der Quadrate 

 und Produkte der trigonometrischen Funk- 

 tionen erhalt man sie in der Form einer 

 Snmme von Cosinusgliedern mit den Fre- 

 quenzen 2p, 2q, p + q und p q. Die 

 erzwungene Schwingung x 2 muB also eben- 

 falls Schwingungen dieser Frequenzen ent- 

 halten. 



Nimmt man statt (28) den vollstandigen 

 Ausdruck fiir x x , der auch das Eigen- 

 schwingungsglied enthalt, so kommen noch 

 die Frequenzen 2ro, co+p, co p, co+ q, 

 (o q dazu. Die entsprechenden Glieder 

 sind aber alle gedampft nnd verschwinden 

 daher schlieBlich. 



In derselben Weise kann man fortfahren 

 und erhalt fiirx 3 eine erzwungene Schwingung, 

 Bestehend aus Sinusschwingungen zum Teil 

 mit den bisherigen Frequenzen und auBer- 

 deni mit neuen Kombinationen derselben, 

 wie 3p, 3q, p 2q usw. 



Durch Einsetzen aller Werte x l5 x 2 . . . 

 in (25) ergibt sich x in der Form einer aus 

 Sinus- oder Cosinnsschwingungen zusammen- 

 gesetzten Schwingung. Die Frequenzen 

 dieser Teilschwingungen haben die allge- 



meine Form 

 (30) o> = 



h = 0,l, 2. . .} 

 k=0,l,2 .. . 



Wirken mehr als zwei Krafte, so kommen 

 zu co noch weitere Glieder hinzu, i lr usw. 

 (r == Frequenz, 1 == 0, 1, 2 . . .). Ordnet man 

 die Glieder von (25) nach steigenden Fre- 

 quenzen co, so erhalt x die Form einer 

 Fouri erreihe. Grundfreqnenz, d. h. Fre- 

 quenz der Grundschwingung dieser Reihe ist 

 diejenige, welche den gro'Bten gemeinschaft- 

 ' lichen Teiler von p und q bildet. Ist z. B. 

 p == 500, q == 300, so ist die Frequenz der 

 Grundschwingung in der erzwungenen 

 Schwingung == 100, demgroBten Teiler beider 

 Zahlen. Dies ist, wie man nachrechnen kann, 

 zugleich der kleinste der Werte co, die sich 

 aus (30) ergeben. 



Die nach (30) zu berechnenden Frequenzen 

 sind die Frequenzen der ,,Kombinations- 

 tone", oder, allgemeiner gesprochen, der 

 Kombinationsschwingungen, die sich 

 bei nichtlinearen Differentialgleichungen der 

 Bewegung desresonierenden Systems ergeben, 

 wenn gleichzeitig mehrere sinusformige Krafte 

 auf dasselbe wirken. Sie zerf alien in Diffe- 

 renz- und Summationsschwingungen 

 bzw. -tone, wenn man bei dem gebrauch- 

 licheren akustischen Namen bleiben will. 



j Solche Kombinationsschwingungen ergeben 

 sich nicht nur aus der Helmholtzschen 

 Gleichung (23), sondern, wie leicht zu iiber- 

 sehen ist, aus jeder nichtlinearen Differential- 

 gleichung, also z. B. auch, wenn symmetrLsche 

 Elastizitat angenommen wird, d. h. wenn das 

 Glied bx 2 inGleichung(23) mit alternierendem 

 Vorzeicheneingefiihrt wird, oder wenn noch ein 

 Glied ex 3 oder eins mit noch hoherer Potenz 

 darin vorkommt, oder schlieBlich auch, wenn 



noch ein quadratisches Reibun^sglied k' 



hineinkommt usw. Nur die Amplituden (und 

 Phasen) der einzelnen Glieder, aus denen 

 sich die gesamte erzwungene Schwingung zu- 

 sammensetzt, sind in jeclem Falle andere. 



Auch ohne das eigenartige Helmholtzsche 

 Integrationsverfahren, das in neuerer Zeit von 

 Cl. Schaefer, Waetzmann u. a. in etwas 

 veranderter Form auf andere Falle angewandt 

 worden ist, liiBt sich zeigen, daB im allgemeinen 

 bei Systemen mit nicht-linearen Eigenschwin- 

 gungsgleichungen immer diese Kombinations- 

 schwingungen auftreten miissen, wenn solche 

 Systeme gleichzeitig von mehreren sinusformigen 

 periodischen Kraften erregt werden. Diese 

 sinusformigen Krafte setzen sich natiirlich zu 

 einer nicht mehr sinusformigen, aber periodischen 

 Kraft zusammen, deren Periode gleich der klein- 

 sten Zeit ist, in tier alle Einzelperioden als ganz- 

 zahlige Vielfache enthalten sind. Ihre Frequenz 

 ist daher gleich dem groBten gemeinschaftlichen 

 Teiler der Einzelfrequenzen p, q, r . . . Ist dieser 

 Teiler = a, so ist also p ma, q = na usw., wo m, 

 n . . . gauze Zahlen sind. 



Die erzwungene Schwingung muB nun of fen- 

 bar auch rein periodisch sein und zwar mit der 

 Periode der erregenden Kraft, d. h. also mit der 

 Frequenz a. Ihre Form ist aber im allgemeinen 

 natiirlich nicht sinusformig. Sie wird somit durch 

 eine Fouri erreihe darstellbar sein, deren Grund- 

 schwingung die Frequenz a hat; die hoheren 

 Schwingungen haben die Frequenzen 2a, 3a usf. 

 Das sind aber genau die Werte, die sich auch 

 aus der Formel (30) fiir die Kombinations- 

 schwingungen ergeben, wenn man dort p == ma, 

 q = = na iisw. setzt. Welche von den einzelnen 

 Komponenten in der erzwungenen Schwingung 

 wirklich bezw. merklich vorhanden sind, hangt 

 von der besonderen Form der Eigenschwingungen 

 ab und liiBt sich nicht allgemein angeben. 



II. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden. 



8. Energie und Bewegungsgleichungen 

 der Punktsysteme. Nur solche Systeme 

 sollen hier genauer besprochen w r erden, deren 

 Eigenschwingungen durch lineare Differen- 

 tialgleichungen geregelt werden. Letzteres 

 ist bei mechanischen Systemen immer der. 

 Fall, wenn alle vorkommenden Elongationen 

 als .unendlich klein. gelten konnen. Bei 

 elektromagnetischen Schwingungskreisen fallt. 

 diese Beschrankung weg. 



Die Bewegungsgleichungen derartiger 



Systeme lassen sich in den verallgemeinerten 



Handworterbuch der Naturwissenschaften. Band VIII. 



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