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Sdiwingungen (Erzwiingene Schwingungen) 



Lagrangeschen Koordinaten x l5 x 2 , . . . x m 



dx 

 und ,,Geschwindigkeiten" x x = -^, x 2 = 



dt 



dx 2 

 "dT 



. . ausdrticken, wenn man die kinetische 



Energie U, die potentielle Energie W und 

 notigenfalls auch die wahrend der Zeiteinheit 

 in andere Energieformen (Warme usw.) um- 

 gewandelte (zerstreute) Energie 2F als Funk- 

 tion der Koordinaten x und x kennt. Die 

 Betrachtung gilt nicht nur fur mechanische, 

 sondernauch fur elektromagnetische Systeme. 

 Die schwingungsfahigen Massenpunkte sind 

 in diesem Falle durch elektrische Schwin- 

 gungskreise zu ersetzen, die Koordinaten 

 x usw. sind die elektrischen Spannungen oder 

 Stromstarken usw. 



Fur jeden Freiheitsgrad, d. h. jede unab- 

 hangige Koordinate xi gilt eine Bewegungs- 

 gleichung von der Form 





im ganzen gibt es soviel solcher Gleichungen, 

 wie Freiheitsgrade der Bewegung. 



Die kinetische Energie U ist immer eine 

 quadratische Fnnktion der Geschwindig- 

 keiten x, die Energien W und F sind in den 

 in Betracht kommenden Fallen ebenfalls 

 quadratische Funktionen, W von den Ko- 

 ordinaten x, F von den Geschwindigkeiten x, 

 also 



(32) 



a 22 



-, , 



""" 



a 12 x,x a 4- a 13 x ; 1 x 3 



12 



ls j 



+ 



C 12 



X 



13 



Die auf den Punkt MJ in der Richtung xi 

 wirkende treibende und die entsprechende 

 hemmende Kraft ist in jedem Falle, auch 

 wenn F und W keine quadratische Funk- 

 tionen sind, gleich dem negativen partiellen 



Differentialquotienten - - ^-7 und - ^ . 



Bei elektromagnetischen Schwingungskreisen 

 ist U die magnetische, W die elektrische 

 Energie, 2F die Joulesche Warme, wenn 

 man unter x 1? x 2 . . . die elektrischen Span- 

 nungen (Potentiale) in den Schwingungs- 

 kreisen versteht. Wenn x l5 x 2 . . . die ge- 

 wohnlichen Kartesischen Linienkoordinaten 

 sind, so sind an, a 22 . . . die Massen M t . . . 

 der einzelnen Punkte. 



Das System der . Gleichungen (31) gibt 

 erzwungene Schwingungen, wenn die Krafte 

 X; periodische Funktionen der Zeit sind; es 



fiihrt zu den Eigenschwingungen oder natlir- 

 lichen Schwingungen des Punkts} T stems, 

 wenn die Krafte Xi == sind. Jeder der 

 Punkte fiihrt in letzterem Falle gewisse ihm 

 eigentiimliche Schwingungen aus. Seine Be- 

 wegung ist aber nicht frei, sondern an die- 

 jenige der anderen Punkte gebunden; das 

 Ganze ist ein aus Teilsystemen bestehendes 

 gekoppeltes Schwingungssystem. 



Die gekoppelten Schwingungen sind in dieser 

 Auftassung als Eigenschwingimgen den freien 

 oder Eigenschwingungen eines Systems mit 

 einem Freiheitsgrad gleichwertig. Andererseits 

 stehen sie aber auch den erzwungenen Schwingungen 

 eines solchen Systems gleich; denn die Krafte, 

 welche auf einen Punkt eines niehrfachen Punkt- 

 systems yon den iibrigen Punkten ausgeiibt 

 werden, sind ebenfalls periodisch, wenn die 

 Punkte schwingen. Man kann sie sogar formell 

 zu aufieren Kraften machen, da man das ganze 

 System nach Belieben zerlegen und nur einen 

 gewissen Teil desselben als ,, Schwingungs- 

 system" betrachten kann. Die von den iibrigen 

 Teilen auf dasselbe ausgeiibten lirafte sind dann 

 aufiere oder eingepragte. Der Unterschied 

 gegen friiher ist aber der, daB diese neueinge- 

 fiihrten aufieren Krafte selbst wieder von der Be- 

 wegung des Punktes abhangen, auf den sie 

 wirken. Mit anderen Worten: es findet hier eine 

 Riickwirkung des von der auBeren Ivraft, der 

 erregenden Schwingung, beeinfluBten Systems 

 auf die erregende Schwingung statt, was 

 friiher nicht der Fall war. Man kann daher 

 die gekoppelten Eigenschwingungen als er- 

 zwungene Schwingungen mit Riickwirkung des 

 resonierenden (sekundaren) Systems auf das er- 

 regende (primare) System ansehen. Mit Riick- 

 sicht auf die mathematische Behandlung dieser 

 Systeme empfiehlt sich aber die erste Anschauung. 

 Nach dieser spricht man von erzwungenen 

 Schwingungen nur, wenn die eingepragten Krafte 

 von der Bewegung des Systems unabhiingig sind. 

 Diese, die eigentlichen erzwungenen Schwin- 

 gungen der gekoppelten Systeme werden allein 

 hier behandelt, und zwar eingehend nur an dem 

 Fall des Systems von zwei Freiheitsgraden, das 

 aus zwei Teilsystemen zusarnmengekoppelt ist. 



Bei Geltung der Gleichungen (32) fiir die 

 Energien, also bei unendlich kleinen Elon- 

 gationen der Punkte, wird das System der 



Bewegungsgleichungen 



(33) 



+ 



-+b, 



dt l2 dt 



c 12 x 2 + . 



+ 



a 12 ~3T 2 ~ + a 22 



+ b 12 ^ + b 2 



+ f* 'Y' f* T 

 l^'-i p A! ^22 P 



+ 

 + 



+ 



? + 



In jeder dieser Gleichungen geben dieGlieder, 

 welche eine Koordinate (z. B. Xj) mit dem- 



