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Schwingungen (Erzwungene Schwingungen) 



direkt ableiten : denn sie driicken nur das Gesetz 

 aus, daB die von auBen wirkende Spannung gleich 

 der Summe der inneren Spannungen (elektro- 

 rnotorischen Krafte) sein muB. 



Statt der magnetischen Koppelungsglieder 

 oder zu ihnen hinzutretend ko'nnen noch Glieder 

 mit Widerstandskoppelung und mit elektrischer 

 Koppelung auftreten, erstere den Stromstarken 



dV 

 J = C -rr, letztere den Spannungen V selbst 



flu 



proportional. In diesen Fallen miissen dann aber 

 die Energieausdriicke (38) durch Hmzufiigung 

 neuer Glieder erganzt werden. 



Die Form der Gleichungen (39) zeigt, 

 daB hier fiir die erzwungenen Schwingungen 

 genau dieselben Gesetze gelten, die im vor- 

 hergehenden fiir mechanische Schwingungs- 

 systeme kurz entwickelt worden sind. Der 

 einzige, aber fiir das Ergebnis nicht wesent- 

 liche, Unterschied liegt in der Koppelungs- 

 art, die der Beschleunigungskoppelung aqui- 

 valentist, wahrend die mechanischen Systeme 

 fiir Kraftkoppelung beliandelt wurden. 



13. Erzwungene Schwingungen eines 

 Leiters mit Selbstinduktion und Kapazitat. 

 Resonanz. In den Gleichungen (39) ist auch 

 der Fall des ungekoppelten freien Schwin- 

 gungskreises, auf den von auBen eine peri- 

 odische elektromotorische Kraft wirkt, mit 

 enthalten; man hat dafiir nur die Koppe- 

 lungsglieder wegzulassen. Fiir einen irgend- 

 wie gestalteten einfachen linearen Leiter, der 

 mit Selbstinduktion L, lokalisierter Kapa- 

 zitat C und Ohmschem Widerstand R ver- 

 sehen ist, z. B. eine Spule, die mit einem 

 Kondensator hintereinander geschaltet ist 

 (vgl. Fig. 14), ergibt sich somit die auch 



Fig. 14. Offener Schwingungskreis. 



leicht direkt aus dem Ohmschen Gesetz ab- 

 zuleitende Differentialgleichung 

 d 2 V dV 



/Af\\ T P I T?P i V \T(p) 



LC^r + RC-^- -V--VC 



Ist die an den Endpunkten des betrachteten 

 Leiterstiickes wirkende eingepragte elektro- 

 motorische Kraft sinusformig 



( 41) W) = V (e) sin co t 



max 



so wird die am Kondensator, d. h. zwischen 

 den Kondensatorplatten vorhandene Span- 

 nungsdifferenz 



y(e) ^ 



' i/ O/^(O TO !/-< T^1\O \ * 



Vco 2 C 2 R 2 + (1 <x 2 LC) 2 



y(e) 



max 



co C 



toC 



coL 



sin (cot < 



und die Ladestromstarke des Kondensators 

 (43) J = 



- 

 dt 



max 



V co C 



COS (cot - 



Die Phasenverzogerung ist bestimmt durch 



R 



tg @ - 1 



(44) 



coC 



liegt zwischen und + 180, im ersten 

 oder zweiten Quadranten. Die Kondensator- 

 spannung ist also gegen die auBere Spannung 

 immer in der Phase zuriick, und zwar um 

 so mehr, je groBer der Ohmsche Widerstand 

 R ist. Die Ladestromstarke des Konden- 

 sators eilt der Kondensatorspannung um 90 

 vor, da der Cosinus dem Sinus desselben 

 Winkels um diesen Betrag voreilt; gegen die 

 auBere Spannung eilt sie also um 90 vor, 

 ist ihr somit je nach der GroBe von voraus 

 oder hinter ihr zuriick (vgl. Fig. 15, in 

 der = 40 angenommen ist, und die 

 schwach ausgezogene Kurve die auBere 

 oder eingepragte elektromotorische Kraft, 

 VX e) , die stark ausgezogene die Konden- 

 satorspannung V, die gestrichelte Kurve 

 die Ladestromstarke J darstellt). 



Aus dem allgemeinen Fall eines mit Selbst- 

 induktion und Kapazitat behafteten Leiters er- 

 geben sich sofort die besonderen des nur 

 Kapazitat oder nur Selbstinduktion aufier dem 

 Widerstand enthaltenden Leiters. Irn ersten Fall 

 ist L=0, im zweiten C=oo zu setzen, denn eine 

 unendlich groBe Kapazitat wirkt bei -Wechsel- 

 strom wie eine metallische Ueberbruckung des 

 Dielektrikums mit verschwindend kleinem Wider- 

 stand. Ist nur Kapazitat vorhanden, so eilt der 

 (Lade-) Strom der auBeren Spannung vor, bei 

 verschwindend kleinem Widerstand um 90. Ist 

 nur Selbstinduktiou vorhanden, so bleibt der 

 Strom hinter der auBeren Spannung zuriick, 

 bei verschwindend kleinem Widerstand um 90. 



Die Stromamplitude wird um so groBer, 

 je kleiner der Nenner in (43) wird, in Ueber- 

 einstimmung mit dem Verhalten der Schwin- 

 gungsamplitude bei mechanischen Systemen. 

 Sie nimmt also im allgemeinen mit wach- 

 sender Kapazitat und fallender Selbst- 

 induktion zu, indem der ,.scheinbare Wider- 



stand' 



R 2 



1 \ 2 



-~r coL kleiner wird. 

 coC / 



Sein Minimalwert, der gleich dem reinen 

 Ohmschen Widerstand R ist, wird bei Weg- 

 fall der Kondensatorkapazitat und der Selbst- 

 induktion erreicht. Der scheinbare Wider- 

 stand kann aber auch bei vorhandener Selbst- 

 induktion und Kapazitat auf diesen Wert 



sinken, wenn namlich coL 0, d, h. 



