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Sdrwingungen (Erzwungene Schwingungen) 



nehmen, die unter TJmstanden weit groBer 

 werden konnen, als die statischen. Nach den 

 allgemeinen, bei den Schwingungen der 

 Punktsysteme besprochenen Prinzipien ist 

 klar, daB die Schwingungsamplitude mid 

 damit die Beanspruchung der betreffenden 

 Bauten bezw. Konstruktionsteile im allge- 

 meinen nur bei Resonanz unzulassige Hohe 

 erreichen wird. Da die Periode der erregen- 

 den Kraft immer als bekannt vorauszu- 

 setzen ist, so handelt es sich also in erster 

 Linie darum, die Eigenschwingungsperiode 

 bezw. -perioden der den Kraften unterliegen- 

 den Kb'rper zu ermitteln, um festzustellen, 

 ob etwa eine von ihnen der Erregungs- 

 periode an GroBe bedenklich nahekommt. 

 Das geschieht in der Lehre von den freien 

 oder Eigenschwingungen, auf die hier hin- 

 zuweisen ist (vgl. den Artikel ,,S c h w i n - 

 gende System e"). Je nach der Ge- 

 stalt und Befestigungsart des Korpers konnen 

 aber verschiedene Typen von elastischen 

 Schwingungen in Betracht kommen, und 

 zwar gleichzeitig an demselben Korper. Der 

 Umfang des Problems erweitert sich da- 

 durch sehr. Nach anderer Kichtung bin 

 findet ebenfalls eine bedentende Erweite- 

 rnng statt, insofern nainlich, als nicht 

 mehr nnr Krafte zu betrachten sind, die 

 auf einzelne Punkte wirken, sondern auch 

 Flachendriicke und Drehmomente, die auf 

 mehr oder weniger ausgedehnte Teile des 

 Korpers ausgeiibt werden. Ihre Wirkung 

 hinsichtlich der Erzeugung von Schwin- 

 gungen kann je nach der Lage der Angriffs- 

 stelle sehr verschieden groB sein. Strenge 

 Berechnung der erzwungenen Schwingungen 

 von elastischen Korpern ist bisher in den 

 meisten praktisch wichtigen Fallen unmog- 

 lich gewesen, man muB sich mit Annahe- 

 rungen begnugen. Der dynamische Ausbau 

 der Festigkeitslehre und Kinematik, der auf 

 diesen Rechnungen beruht, ist daher erst in 

 den Anfangen und laBt noch keine allgemeine 

 Darstellung zu, die den Gegenstand theo- 

 retisch einigermaBen erschopfend und richtig 

 wiedergibt. Es muB geniigen, einige beson- 

 ders interessante Beispiele anzufiihren. So- 

 weit ruhende, d. h. als Gauzes ruhende 

 Systeme wie Briicken usw. in Betracht 

 kommen, konnen die rein physikalischen 

 Untersuchungen liber erzwungene Schwin- 

 gungen einfacher elastischer Systeme wie 

 Saiten, Stabe usw. benutzt werden, von 

 denen in diesem Zusammenhang ebenfalls 

 die Rede sein wird. Doch sind die Ergeb- 

 nisse auf die meist komplizierteren Verhalt- 

 nisse der Technik nur mit Vorsicht zu iiber- 

 tragen. 



15. Transversalschwingungen der bei- 

 derseits befestigten Saite, von der ein 

 Punkt einer periodischen Kraft unter- 

 liegt. Die Differentialgleichungen der Be- 



wegung lassen sich ebenso wie bei den Punkt- 

 systemen aus den Gleichungen der Eigen- 

 schwingungen durch Hinzufiigung der auBe- 

 ren Krafte ableiten. Da in der Differential- 

 gleichung die Bewegung eines beliebig heraus- 

 gegriffenen Massenpunktes eigentlich 



Massenelementes Q&T == /.i dargestellt 



wird, so sind die Glieder der Gleichung nichts 

 anderes als die an diesem angreifenden Krafte. 

 Als auBere Kraft ist also in die Differential- 

 gleichung der auf dieses Massenelement in 

 der betreffenden Koordinatenrichtung ent- 

 fallende Betrag der gesamten auBeren Krafte 

 einzufiihren. Hieraus ersieht man, daB die 

 (periodische) Zusatzkraft eine Funktion nicht 

 nur der Zeit, sondern auch des Ortes ist. 

 Die zu losende Differeiitialgleichung, die an 

 sich schon als partielle Gleichung mehr 

 Schwierigkeiten bietet als die gewohnlichen 

 Differentialgleichungen der Punktsysteme, 

 wird dadurch im allgemeinen noch kompli- 

 zierter. Als einfachstes Beispiel sei hier der 

 Fall einer mit der Kraft P, also der Spannung 



P 

 p = - (q == Saitenquerschnitt) gespannten, 



beiderseits unnachgiebig befestigten Saite, 

 angefiihrt, auf welche an ein em Punkte 

 x b - - gen an er an einein Saitenelement 

 von der Lange dx - - eine sinusformig peri- 

 odische Kraft F cos vt senkrecht zur Saiten- 

 richtung wirkt. Diesem Fall steht der andere 

 ebenso zu behandelnde gegeniiber, daB dem 

 Saitenpunkt b eine vorgeschriebene peri- 

 odische Bewegung y==ycosrt von auBen 

 aufgezwungen wird. Die . Saite erstrecke 

 sich von x == bis x == 1; die seitliche 

 (transversale)' Ausbiegung sei y. Wenn man 

 eine der Geschwindigkeit proportionale 

 Reibungskraft annimmt, welche die Damp- 

 fung d erzeugt, so ist die Differentialgleichung 

 der Bewegung 



c ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit trans- 

 versaler Wellen auf der Saite. Y hat nur f iir 

 die Stelle x == b den Wert F cos rt, an alien 

 anderen Stellen aber den Wert 0. Zu reali- 

 sieren ist eine solche auf einen Punkt, d. h, 

 streng genommen auf eine verschwindend 

 kurze Saitenstrecke konzentrierte Kraft etwa 

 dadurch, daB an die Saite ein kleines leichtes 

 Eisenstuckchen angeklebt wird, auf welches 

 ein von einem periodischen Strom durch- 

 flossener Elektromagnet wirkt. Ohne die 

 auBere Kraft Y und ohne das Dampfungs- 



dY 



glied 26 -.'r erhjilt man die bekannte Schwin- 

 ot 



gungsgleichung der gespannten Saite, welche 

 sinusfb'rmige Eigenschwingungen mit den - in 

 harmonischer Reihe aufsteigenden Frequenzen 



