Srhwingungen (Erzwungene Schwingungen) 



1133 



TEC 



2nc 



knc 

 



ergibt. 



Bei vorhandener Dampfung gehen diese 

 Werte in die kaum merklich von ihnen ver- 

 schiedenen Werte coj =] / (w 1 ) 2 <5 2 usw. iiber. 

 Diese Eigenschwingungen lagern sich zu 

 Beginn der Bewegung liber die erzwungenen 

 Schwingungen, deren Frequenz v ist. Die 

 erzwungene Schwingung wird nach der bei 

 Rayleigh (Sound Bd. I 133 ff.) mitge- 

 teilten Rechnung mit Vernachlassigung der 

 Dampfung (also d = gesetzt) 



(46) 



y = _ 

 P 



sin -sin (1 b) 

 F c c v 



von 



V V\ 



-sin 

 c c 



x= o bis x= 1 



cos vt 



v , . vlo 



sin - (1 x)sm- 



V . V\ 



-sin 

 c c 



cos vt 



von x = b bis x = 1 



Ist das Problem so gestellt, daB nicht eine 

 gegebene Kraft F cos vt auf einen Saiten- 

 punkt wirkt, sondern daB diesem Punkt 

 (x -= b) eine vorgeschriebene Bewegung 

 y = y cos i't aufgezwungen wird, so erhalt 

 man unter den gleichen Beclingungen 



(47) 



sin 



y - cosrt von 



= o bis x=b 



sin -(1 x) 



cos vt 



sinf (1-b) 



von x = b bis x = 1. 



Wird die Dampfung beriicksichtigt, so 

 ergeben sich kompliziertere Ausdriicke; es 

 treten Phasendifferenzen gegen die erregende 

 Kraft bezw. Schwingung auf, und der Nenner 

 erhalt solche Form, daB er nicht Null werden 

 kann. In den obigen Fallen fehlender 

 Dampfung wird der Sinus im Nenner Null, 

 die Amplitude y der erzwungenen Schwingung 

 also unendlich, d. h. in Wirklichkeit nur 

 sehr groB, wenn bei Erregung durch eine 



periodische Kraft - =k?rwird oder, bei Er- 



C 



regung durch vorgeschriebene Bewegung des 

 Punktes x == b, wenn entweder = kyi 



C 



oder 



l b) 



= kn ist. Bei periodischer 



Kraft als Erregung findet demnach Resouanz 

 statt, wenn die Erregungsfrequenz v identisch 

 ist mit einer der moglichen Eigenfrequenzen 



(cok)o= der ganzen Saite. Die Amplitude 



der erzwungenen Schwingung hangt aber 



. vb . . v (1-b) 

 wegen des Faktors sin bzw. sin - 



C C 



im Zahler noch von der Lage des Angriffs- 

 punktes der Kraft ab. Fallt dieser Punkt 

 (x b) auf einen Knotenpunkt einer Partial- 

 schwingung der Saite, d. h. ist b ein aliquoter 

 Teil der Saitenlange 1, dann werden diejenigen 

 Schwingungen, welche daselbst einen Knoten 

 besitzen, iiberhaupt nicht oder in Wirk- 

 lichkeit nur sehr schwach erregt. Da6 doch 

 noch derartige Schwingungen vorkommen, 

 riihrt daher, daB die Erregung nie genau auf 

 einen mathematischen Punkt beschrankt 

 bleibt, sondern eine endliche Strecke der 

 Saite umfaBt. 



Wirkt aber zweitens nicht eine gegebene 

 Kraft, sondern fiihrt der Punkt b zwangs- 

 weise die Bewegung y = - y cos vt aus, so 

 ist Resonanz vorhanden, wenn die Frequenz v 

 dieser vorgeschriebenen Bewegung identisch 

 ist mit einer der moglichen Eigenfrequenzen 

 der beiden Teilstiicke von der Lange b 

 undl b, die diese als f esteingespannte Saiten 

 haben wiirden. Resonanz und damit Er- 

 hohung der Schwingungsamplitude tritt hier 

 aber nur immerfur den einen der beiden Saiten- 

 abschnitte auf. Die beiden Teile verhalten 

 sich wie getrennte Saiten und konnen auch 

 in der Tat getrennt werden, ohne daB die 

 Schwingung der Teilstiicke sich t andert, 

 wenn nur die vorgeschriebene Bewegung der 

 beziiglichen Endpunkte, die vorher an der 

 Stelle b zusammentrafen, unverandert bei- 

 behalten wird. Das kann z. B. dadurch ge- 

 schehen, daB diese Endpunkte an einem 

 schwingenden Korper von vielgroBerer Masse, 

 als die Saite besitzt, befestigt werden, etwa 

 an einer Stimmgabelzinke oder dgl. 



Der Fall, daB dem einen Endpunkt einer 

 am anderen Ende eingespannten Saite 

 zwangsweise eine vorgeschriebene periodische 

 Bewegung erteilt wird, ist natiirlich in den 

 Formeln (47) ohne weiteres enthalten. Man 

 hat b == 1 zu setzen, die erste der beiden 

 Formeln, die fiir die Strecke x bis x == b 

 gilt, stellt alsdann die Bewegung dar. 

 ist aber immer zu beriicksichtigen, daB die 

 Formel wegen mancher Vernachlassigungen 

 (AuBerachtlassung der Dampfung, Annahme 

 unendlich kleiner Elongationen, Annahme 

 fehlender Riickwirkung der Saite usw.) 

 nicht genau ist, und insbesondere fiir den 

 Resonanzfall eigentlich versagt, da sie fiir 



vb 

 sin-- unendlich groBe Elongationen y ergibt. 



C 



Bis zu einem gewissen Grade stellt sie aber 

 die Erscheinungen richtig dar. Vernachlassigt 

 man die Dampfung d nicht, nimmt sie aber 

 sehr klein an, so kann man mit Vernach- 



