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Schwingungen (Erzwungene Schwingungen) 



lassigung kleiner Glieder von hb'herer Ord- 

 nung die Formel erhalten: 



vx <5 2 x 2 



sm V+^r 



, vb (5 2 b 2 



sin 2 - 



c c 2 



, vb 

 cos 2 - 



cos(vt+e x b) 



fiir x = bis x = b, wobei 



x<5 rx b<5 vb 



(49)tg x = - ctg ;tg b = -^ ct g-^ 



Dies gilt flir vorgeschriebene Bewegung 

 des Punktes b. Hier wird im Resonanzfall, 



vb 

 wo sin - =0 ist, die Amplitude zwar groB, 



aber nicht unendlich. 



16. Verallgemeinerung und Ueber- 

 tragung der Ergebnisse von der Saite auf 

 andere Korper (Stabe, Flatten usw.), 

 Entsprechende Ueberlegungen wie ftir 

 Saiten lassen sich fiir Stabe, Membranen, 

 Flatten und andere elastische Korper 

 mit Eigenschwingungen anstellen und zwar 

 nicht nur fiir Biegungs- (Transversal-) 

 schwingungen, sondern auch fiir Longitu- 

 dinal- und Torsionsschwingungen. Die 

 strenge analytische Behandlung ist aber noch 

 wesentlich schwieriger. Ganz aussichtslos ist 

 sie fiir einigermaBen komplizierte Kb'rper- 

 formen, Stabe mit stark veranderlichem Quer- 

 schnitt, zusammengesetzte Stabe, wie sie 

 z. B. im Briickenbau vorkommen, gekriimmte 

 Flatten (Glocken), Flatten mit ungleicher 

 Dicke usw. In alien diesen Fallen muB man 

 auf die genaue Bestimmung der Schwin- 

 gungsfigur und auf die Berechnung der 

 Amplituden als Funktion des Ortes ver- 

 zichten. Es ist daher im allgemeinen 

 auch nicht moglich, die tatsachliche dyna- 

 mische Beanspruchung eines Konstruktions- 

 teils im Maschinen-, Briickenbau usw. 

 wirklich zuverlassig durch Kechnung zu be- 

 stimmen. Man kann aber dieselben allge- 

 meinen Satze, die oben an dem Fall der ge- 

 spannten Saite besprochen wurden, auch 

 hier anwenden. Das sind die folgenden: 

 1. AuBergewb'hnliche Erhbhung der Schwin- 

 gungsamplitude, die eine unzulassig 

 groBe Beanspruchung des Materials zur 

 Folge haben kann, tritt ein, wenn die Er- 

 regungsfrequenz mit einer der Eigenfre- 

 quenzen des Kb'rpers iibereinstimmt, oder 

 ihr sehr nahekommt. 2. Die Gefahr allzu 

 hpher Amplituden ist um so grb'Ber, je geringer 

 die Dampfung der Eigenschwingungen ist. 

 3. Die erzwungene Schwingung setzt sich 

 im allgemeinen aus einer Anzahl iibereinander 

 gelagerter Teilschwingungen mit verschie- 

 denen Frequenzen zusammen, wenn die 

 Erregung nicht einfach sinusformig ist; 



daher ist auch die Resonanzfahigkeit des 

 Korpers fiir etwaige in der Erregung ent- 

 haltene Oberschwingungen zu beriicksich- 

 tigen. 4. Die Schwingungsfigur, d. h. die 

 Amplitude der erzwungenen Schwingung 

 als Funktion des Ortes betrachtet, die Am- 

 plitudenkurve oder anders ausgedriickt das 

 Momentbild der Schwingung, wird gebildet 

 durch Uebereinanderlagerung der Schwin- 

 gungsfiguren der Haupt- oder Eigenschwin- 

 gungen, mit anderenWorten, durch Ueberein- 

 anderlagerung der sogenannten Normalfunk- 

 tionen des schwingenden Korpers. (Bei Saiten 

 sind dies Sinus- und Cosinusfunktionen von der 



. mx mx 



.borm sm j und cos^ bei Staben die 



i 



1 



analogen Sinus- und Cosinusfunktionen nebst 

 Hyperbelsinus und -cosinus, bei anderen 

 Korpern kompliziertere Funktionen.) Die 

 Koeffizienten dieser Reihenentwickelungen 

 hangen von der Lage und Verteilimg der 

 Angriffspimkte der Erregung ab. Und es 

 konnen hier insbesondere zwei Falle hervor- 

 gehoben werden, namlich 5. Geschieht 

 die Erregung durch eine periodische Kraft, 

 die iibrigens in alien praktisch wichtigen 

 Fallen meist nur lokal, d. h. auf einem im 

 Verhaltnis zur Gesamtausdehnung des Kor- 

 pers kleinen Gebiet (Linien- oder Flachen- 

 element, schmaler OberflJichenstreifen) wirkt, 

 so werden diejenigen Schwingungstypen 

 nicht erregt, welche an der Erregungsstelle 

 Knoten besitzen, sei es Knotenpunkte, 

 -linien oder -flachen. Mit den zu diesen 

 Schwingungstypen (Normalfunktionen) ge- 

 horenden Eigenschwingungen kann daher 

 auch keine Resonanz stattfinden. Ueberein- 

 stimmung der Erregungsfrequenz mit diesen 

 Eigenfrequenzen ist ungefahrlich. Dagegen: 

 6. Besteht die Erregung in vorgeschriebener 

 zwangsweiser Bewegung eines beschrankten 

 Gebietes des Korpers, so werden gerade die- 

 jenigen Schwingungstypen besonders stark 

 erregt, welche an der Erregungsstelle Knoten 

 besitzen. Hier kommt also Resonanz mit 

 einer zugehorigen Eigenschwingung sehr in 

 Betracht. Ebenso hat man im Falle 5 

 die Resonanzmoglichkeit zu beriicksichtigen, 

 wenn die Erregung nicht genau an der 

 Knotenstelle erfolgt. 



Praktisch wichtig sind die erzwungenen 

 Schwingungen Linger eiserner (und hb'l- 

 zerner) Briicken unter der Wirkung dariiber 

 fahrender Eisenbahnziige. Als erzeugende 

 Kriifte kommen hauptsachlich die peri- 

 odischen Impulse der hin und hergehenden 

 Maschinenteile der Lokomotive in Betracht. 

 Noch wichtiger ist der Fall einer FuBganger- 

 briicke mit taktmaBig marschierenden 

 Menschenmengen. Bekanntlich diirfen 

 Truppenverbande solche Briicken nicht 

 im Gleichtritt passieren, weil die Gefahr 



