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Schwingungserregung 



rmiB iiber eine gauze Schwingungsperiode 

 ausgefiihrt werden. Das Resultat iibersieht 

 man am besten graphisch (Fig. 3), indem 

 man nach rechts den Weg a, nach oben 

 die zu jedem Wegstiick da gehorige Kraft K 

 als Kurve auftragt. Der ganze schraffierte 

 Flacheninhalt stellt dann die Summe cler 

 Produkte Kda dar. Man hat dabei zunachst 

 von a -= bis zum maximalen Ausschlag 

 a == A zu summieren, wir wollen dies den 

 Hinweg nennen. Dann miissen wir aber 

 weiter auch iiber den Riickweg summieren. 

 Wechselt dabei die Kraft ihre Richtung nicht, 

 so geschieht die Riickbewegung entgegen 

 der Kraft, es geht wieder Energie verloren. 

 Wir miissen dann die zweite Flache, die in 

 der Figur 3 wagerecht schraffiert ist, von der 

 ersten abziehen und erhalten als gesamte 

 Energie den von der Hinweg- und Rtickweg- 

 kurve eingeschlossenen Flacheninhalt. Ware 

 die Kraft auf dem Riickwege grb'Ber gewesen 

 als auf dem Hinwege, so wiirden wir eine 

 der Figur 4 entsprechende Energieflache 

 erhalten haben. Die gesamte Energie ware 

 dann negativ, durch Einwirkung der auBeren 

 Kraft ware dem schwingenden System Energie 

 verloren gegangen. Man erkennt leicht, 

 daB ganz allgemein ein Umlaufssinn in 

 Richtung des Uhrzeigers positive, entgegen 

 dem Uhrzeiger negative Energie bedeutet. 

 Die Bedingung fiir positive Energie kann man 

 demnach auch so ausdriicken : Die in Richtung 

 des Hinwegs wirkende Kraft muB auf dem 

 Hinwege im Mittel groBer sein als auf dem 



(Fig. 5) oder, wie man dies ausdriickt, 

 die Kraft darf nicht eindeutig von 

 dem Wege abhangen. denn auch dann 

 wird die Energie null. Dieser Satz ist fiir 

 alle periodischen Bewegungen, auch wenn 

 es sich nicht um Eigenschwingungen handelt, 

 giiltig, z. B. auch fiir die hin- und hergehende 

 Kolbenbewegung bei der Dampfmaschine. 

 Fiir diese sagt er aus, daB die Steuerung, die 

 die GroBe der Dampfkraft reguliert, nicht 

 zwanglaufig durch die Kolbenbewegung an- 

 getrieben werden kann, die Stellung der 

 Steuerung muB auf dem Hinwege eine andere 

 sein als an derselben Stelle auf dem Riick- 

 wege. Sonst kann niemals eine Hin- und 

 Herbewegung eintreten. 



Aendert sich der Ausschlag a sinusformig 

 und ist auch die auBere Kraft sinusformigen 

 Schwankungen unterworfen (etwa um einen 

 konstanten Mittelwert, der fiir die Energie, 

 wie oben gezeigt, nicht in Betracht komnit), 

 so wird der die Energie darstellende Flachen- 

 inhalt eine Ellipse (vgl. den Artikel ,,Schwin- 

 gende Bewegungen"). Diese wird im 

 Uhrzeigersinne durchlaufen (Fig. 6), wenn 

 die antreibende Kraft gegen die Bewegung 

 eine positive Phasenverschiebung hat, ihr im 

 Schwingungszustand voreilt. Nur dann 

 wird also dem schwingenden System Energie 

 zugefiihrt. Im anderen Falle wird die 

 Flache entgegen dem Uhrzeigersinne durch- 

 laufen, es wird der Schwingung Energie 

 entzogen. Ist der Phasemmterschied null, 







Fig. 3. 



Fig. 4. 



Fig. 6. 



Riickwege, was auch rein physikalisch ein- 

 leuchtet. Daraus folgt zunachst, daB die 

 auBere Kraft nicht dauernd konstant sein 

 darf; denn dann wird die Energie E == 0. 

 Die konstante Schwerkraft z. B. gibt an 

 einen auf- und abtanzenden Korper keine 

 l-Jiorgie ab. Die Kraft darf aber auch nicht 

 iiberall auf dem Riickwege ebenso groB sein 

 wie an denselben Stellen auf dem Hinwege 



B- 



RucUv/eq Hinweg 



o 



Fig. 8. 



so artet die Ellipse in eine gerade Linie aus, 

 der Flacheninhalt und somit auch die Energie 

 wird null. Bei einem Phasemmterschiede 

 von J /4 Periode liegt die Ellipse in cler Haupt- 

 lage (Fig. 7), die zugefiihrte Energie wird ein 

 Maximum. Es ist daher am giinstigsten, 

 wenn sich die Kraft gerade in den Totpunkten 

 am starksten anderf, wo der Ausschlag einen 

 Augenblick konstant ist; bei der Dampf- 



