Abbildungslehre 



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fortgebildet 



Flachen voneinander (Linsendicke) oder der 

 verschicdenen Systemteile (Trennung in zwei 

 Glieder) ist also ein wesentlicher Faktor 

 zur Erzielung einer Abbildung hoherer Ord- 

 nung. 



Die S e i d e 1 sche Theorie 1st insbesondere 

 von Finsterwalder 

 worden. 



3 i) A 1 1 g e m e i n e A b b i 1 d u n g s - 

 2, e s e t z e k o 1 1 i n e a r ver w an d ter 

 R a u m e (Theorie von M 6 bins iiiul 

 Abb e). Descartes studierte die Fraur 

 der punktweisen Strahlenyereinigung in der 

 Weise allgemein, daB er diejeingen spiegeln- 

 den und brechenden Flachen zu bestininirn 

 suchte, welche alle von einem Punkte aus- 

 gegangenen Strahlen in wieder einem Punkte 

 vereinigen (.,Cartesische Ovalen u ). Eine 

 Verallgemeinernng der Abbildungsgesetze bei 

 der Breclumg an einer Kugelllache bezw. 

 unendlich diinnen Linsen fiihrte erst G a u s s 

 durch, welcher zeigte, daB bei Beschrankung 

 auf Nullstrahlen jene Abbildungsgesetze auch 

 fiir beliebige zentrierte Systeme gelt en. 

 Aehnliche Gesetze finden statt auch bei der 

 Abbildung durch ebene schiefe Strahlen- 

 biischel an zentrierten Systemen und durch 

 Nullstrahlen an nicht zentrierten Systemen. 

 Es drangte sich somit der Gedanke auf, daB 

 diese Beziehungen die Folge eines allge- 

 meineren Prinzips sein und immer da auf- 

 treten miissen, wo eine Abbildung durch 

 geradlinige Strahlen d. h. wo eine ,,kolli- 

 neare" Beziehung zwischen dem Objekt- 

 raum und dem Bildraum stattfindet. 



Wir wollen mit Abbe die kollineare 

 Ver w an dt sch aft zweier Raume durch 

 folgende Beziehungen definieren: 1. Die 

 Abbildung ist eindeutig, da sich die Strahlen 

 paarweise nur in je einem Punkte schneiden. 

 2. Den Punkten auf einer Geraden im einen 

 Raume entsprechen als Bilder Punkte im 

 anderen Raume, die wieder auf einer Ge- 

 raden liegen. 3. Einer Ebene im Objekt- 

 raume entspricht im Bildraume wiederum 

 eine Ebene. 



M 6 b i u s scheint zuerst erkannt zu 

 haben, daB die G a u s s sche Abbildung 

 die Beziehungen der kollinearen Ver- 

 wandtschaft zweier Raume wiederspiegelt. 

 Aber auch er und seine Nachfolger 

 (H a n k e 1) halten noch fest an der 

 Voraussetzung, daB zur Verwirklichung der 

 kollinearen Beziehung eine gewisse Art der 

 dioptrischen Wirkung notig sei. Erst Abbe 

 hat bei der Ableitung der optischen Abbil- 

 dung alle Voraussetzungen liber deren 

 Verwirklichung fallen lassen und ge- 

 funden, daB die Gaussschen Satze und 

 Begriffe (Brennweite usw.) vollkommen 

 unabhangig von den physikalischen und 

 geometrischen Bedingungen ihres Entstehens 



sind und nur der Ausdruck dal'iir. daB 

 eine kollineare Abbildunu zweier Raiinie in 

 einander stattfindet. 



Schon vor A b b e hatte ]\I a x w e 1 1 

 dem gleichen Gedanlcen Ausdruck ire^'bcn : 

 seine Arbeiten scheinen aber unbe;icliiei, 

 geblieben zu sein. A b b e geht bei seinem 

 analytischen Entwickelungen dec Kollinea- 

 tionsbeziehungen vom Merkmal 3 aus. da aus 

 diesem riickwarts die Abbildung von Geraden 

 in Gerade (als Sclmittpunkte je zweier 

 Ebenen) und von Punkten in Punkte (als 

 Sclmittpunkte je zweier Geraden) folgt. 



Um den Zusammenhang zweier Raume 

 R und R' n aher zu studieren, werde in jedem 

 derselben ein rechtwinkliges Coordinaten- 

 system angenomnien. Sind die Coordinaten 

 eines Punktes P im einen Raum (Objekt- 

 raum) x y z und die Coordinaten des kon- 

 jugierten Bildpunktes P' im Bildraume x' 

 y' z', so kann die mathematische Beziehung 

 zwischen P und P' so formuliert werden 

 x' : = 09 (x y z) 



y' _ y ( X y i\ 



z' : = ip (x y z) 



Sind die Funktionen q> % y ermittelt, 

 so ist die analytische Beziehung beider 

 Raume bekannt. Setzt man die Gleichmmen 

 einer Ebene E im Objektraum oder einer 

 Ebene im Bildraume an und ersetzt die 

 Coordinaten x' y' z' der letzteren durch die 

 obigenAusdriicke, so erhalt man die Gleichung 

 einer mit E identischen Ebene usw., woraus 

 man schlieBlich die gesuchten Funktionen 



95, x und ip erhalt, durch welche die Abbil- 

 dung vollstandig bestimmt ist. 



Aus den Beziehungen zwischen den 

 Oertern konjugierter Ebenen folgt, daB 

 endlichen Werten von x' y' z' im allgemeinen 

 auch endliche Werte von x y z entsprechen 

 und daB es ein System von Werten x y z 

 gibt, denen unendlich groBe Werte 

 von x' y' z' zugeordnet sind. Es sind also 

 Unstetigkeitsebenen oder Brenn- 

 e b e n e n vorhanden. Ferner springt so- 

 fort das t e 1 e s k o p i s c h e System als 

 singularer Fall heraus. Audi ergeben sich 

 olme weiteres die fiir ein zentriertes System 

 abgeleiteten Abbe schen Abbildungs- 

 gleichungen (vgl. den Artikel .,Linsen- 

 s y s t e in e "). 



Abbe erhalt so die Eigenschaften einer 

 kollinearen Abbildung als Idealzustand, dem 

 sich die praktische Optik zu nahern strebt. 

 Diese ideale Abbildung ist bei Verwendung 

 zentrierter Systeme nur bei Beschrankung 

 auf Nullstrahlen verwirklicht (Gauss sche 

 Abbildung). Damit sie bei der S e i d e 1 - 

 schen Abbildung eintritt, miissen die fiinf 

 S e i d e 1 schen Abbildungsfehler beseitigt 

 sein. 



