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Abbildungslehre 



3 k) Allgemeine Abbildungs- 

 lehre bei Systemen mit Ortho- 

 gonalflachen. Charakteristi- 

 s c h e F u n k t i o n. E i k o n a 1. Gehen 

 Strahlen von einem Lichtpunkt aus, so 

 stehen sie im Objektmcdium senkrecht auf 

 Kugelflachen und nach beliebig vielen Spie- 

 gelungen oder Brechimgen an stetiggekrumm- 

 ten Flachen stets senkrecht auf Flachen 

 kontinuierlicher Kriimmung, den ,, Wellen- 

 flachen". Vorausgesetzt ist hierbei, daB die 

 verschiedenen brechenden Medien homogen 

 seien. Ganz allgemein gilt aber, daB, wenn 

 Gerade im ersten Medium zu einer Fliiche 

 senkrecht stehen, sie nach jeder Richtung 

 auf einer Flache senkrecht stehen (Satz von 

 M alu s). Das System dieser r t h o g o n al - 

 f 1 a c h e n ist dadnrch charakterisiert. daB 

 zwischen 2 Orthogonalflachen die optische 

 Lange langs jedes Str allies die gleiche ist, 

 wahrend nach deni F e r m a t schen Prin- 

 zip der Weg jedes Strahles durch die Be- 

 dmgung 



<5 ^ n Q = 



bestimmt wird, worin ~n@ die Summe der 

 optischen Weglangen zwischen den betrach- 

 teten Orthogonalflachen bedeutet. Setzen 

 wir die Geschwindigkeit des Lichtes im 

 Vakuura gleich 1, so ist die optische Lange 

 i\g nichts anderes als die Zeit, welche das 

 Licht braucht, um die Strecke Q im Medium 

 n zu durchlaufen (L i c h t z e i t). Die 

 Lichtzeit ist also langs jedes Strahles zwischen 

 2 Orthogpnalflachen konstant (vgl. den Ar- 

 tikel ,,Linsensysteme "). 



Auf Grund dieser Tatsachen laBt sich 

 eine allgemeine Theorie der Abbildung 

 insofern entwickeln, als man die Eigen- 

 schaften optischer Systeme untersuchen kann 

 ohne deren spezielle Form zu kennen 

 oder umgekehrt die Systeme findet, welche 

 vorgeschriebenen Bedingungen genitgen sol- 

 len. Im allgemeinen gelangt durch jedes 

 optische System von einem beliebigen 

 Punkt mit den Coordinaten x y z einer 

 Orthogonali'liiche nur e i n Strahl zu einem 

 Punkte mit den Coordinaten x'y'z' einer 

 zweiten Orthogonalflache, dessen Weg durch 

 die Gleichung d-ng = bestimmt ist. 

 Man kann also mit Hamilton die Weg- 

 lange zwischen den Punkten x y z und x'y'z' 

 auffassen als eine Funktion der 6 Coordinaten 

 beider Punkte; es sei diese F(x y z x'y'z'). 

 Durch die Funktion F ist die Abhangigkeit 

 der optischen Lange (Lichtzeit) von der 

 Lage der beiden Punkte anf den zugeho'rigen 

 Orthogonalflachen ausgedriickt, also ist das 

 betrefien.de optische System durcli die Funk- 

 tion F charakterisiert. Man nennt diese 

 Funktion F daher die c h a r a k t e r i s - 

 t i s c h e Funktion des optischen 

 Systems. 



Gehen die Strahlen im Objektmedium 



von einem Punkt (Objektpunkt) aus. so 



sind die Orthogonalflachen im Objektmedium 



j konzentrische Kugeloberflachen mit dem 



! Objektpunkt als Zentrum. Rechnet man 



die optischen Langen von der unendlich 



kleinen um den Lichtpunkt gelegten Kugel- 



llache (xyz) aus, so ist die Gleichung der 



Orthogonalflachen nach beliebig vielen Spie- 



gelungen oder Brechungen also 



F(xyz x'y'z') == const 



worin wir xyz als feste und x'y'z' als laufende 

 Coordinaten betrachten konnen. Ist der 

 Objektpunkt ein leuchtender Punkt, so 

 stellt unsere Gleichung im Sinne der Wellen- 

 lehre samtliche Wellenflachen dar. 



Unser Problem, mit Hilfe der charak- 

 teristischen Funktion den Verlauf der Strahlen 

 und damit die Eigenschaften des Systems 

 zu finden, hat viel Yerwandtes mit den 

 Problemen der Potentialtheorie (vgl. 

 den Artikel ^Potential' 1 ). Haben Krafte 

 ein Potential F, so sind die Flachen gleichen 

 Potentials durch die Gleichung 



F - = const 



dargestellt und auf ihnen stehen senkrecht 



die Kraftlinien. Diese sind vergleichbar 



unseren Strahlen, die Potentialflachen den 



Wellenflachen. Es ergibt sich somit ohne 



weiteres, daB der von xyz kommende und 



durch x'y'z' gehende Strahl daselbst die 



| Richtungskosinusse a'fi'-y' mit den Coordi- 



Inatenachsen bildet, welche gegeben sind 



I durch 



Nach dem Prinzip der Reziprozitat der 

 Licht wege muB der vom Punkte x'y'z' 

 kommende Strahl im Objektraume durch 

 xyz gehen. Diesem Strahl kommen also die 

 Richtungskosinus a/? y zu: 



a :p: y 



Infolge der Bedeutung von F als optischer 

 Weglange muB also fur den Fall, daB n 

 und n' den zur Flache xyz und x'y'z' zu- 

 gehorigen Brechungsquotienten bedeutet, 



gelten 



a = 



n 



J^ 



n 



_1_ 

 n 



a'= + 



und 



n 



n 



n 



durch welche Gleichungen zu jedem Objekt- 

 strahl durch den Punkt xyz (bestimmt durch 

 seine Coordinaten xyz und Richtungs- 

 kosinusse a/3y) der konjugierte Bildstrahl 

 durch den Punkt x'y'z' (bestimmt durch 

 seine Coordinaten x'y'z' und seine Richtungs- 



