Abbildungslehre 



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In Wirklichkeit haben wir es rnit der Abbildung 

 eines kleinen flachenhaften Objektes zu tun, 

 dessen verschiedene Flachenelemente koharente 

 Wellenziige aussenden. Die Lichterregung S, 

 welche alle diese einzelnen Elemente im Auf- 

 punkt P 1 hervorrufen, 1st dann 



S = ^ / / dXdY<f(XY) / f d ' d // sin 2 .-, 



Objekt 



Begrenzung 



I* 



wo i' = ,//'= |- gesetzt ist. 



Der Faktor 9- tragt Reehnung der Durch- 

 lassigkeit des abzubildenden Objektes. Bei 

 einem Gitter mit abwechselnd durchlassigen und 

 undurchlassigen Intervallen wechselt der Wert 

 von (f sprungweise zwischen 1 und 0. Der Faktor 

 f f tragt Reehnung einer etwa vorhandenen 

 Phasendifferenz zwischen den einzelnen Elementen 

 der abzubildenden Flache. 



Die Forruel (7) enthalt, wie man leicht sieht, 

 implizite die Tatsache, daB die Lichtbewegung 

 im Punkt XY des abzubildenden Objekts dar- 

 gestellt ist durch den einfachen Ausdruck: 



K y (XY) sin 2 



. . . (8) 



welcher gleichsam nach Phase und Amplitude 

 ein Symbol des Objekts darstellt. 



Bei der Ausfiihrung der Integration kann 

 man wie folgt verfahren. Man integriert zu- 

 nachst iiber die Zwischenflache (-'//') und dann 

 iiber das Objekt (XY). Die erste Integration 

 liefert die Beugungswirkung der begrenzten Oeff- 

 uung in der Objektebene bei Vorhandensein 

 eines Objektelementes, die zweite Integration 

 tragt der Ausdehnung des Objektes Reehnung. 



Die Entstehungsweise des Abbildes wird 

 physikalisch anschaulicher, wenn man die Reihen- 

 folge der Integration umkehrt und zuerst die 

 Integration iiber das Objekt XY ausfuhrt. 

 Dies liefert unmittelbar die Beugungswirkung 

 des nichtselbstleuchtenden Objektes am Orte 

 der Zwischenflache. Ist das Objekt z. B. ein 

 Gitter, so treten in der Zwischenflache die be- 

 kannten Beugungsspektra auf, deren Lage von 

 der Gitterkonstante und dem Einfallswinkel des 

 Lichtes abhangt. Nach Ausfiihrung der ersten 

 Integration kann man daher sowohl von der 

 Lichtquelle wie vom Objekt abstrahieren; beide 

 sind ersetzt durch die in der Zwischenflache auf- 

 tretenden Beugungsspektra. 



Der zweiten Integration fiber ;'?]' fallt also 

 nur die Rolle zu, die Interferenzwirkung dieser 

 Beugungsspektra im Aul'punkte P'(xy) der Ob- 

 jektebene zu berechnen. 



Die resultierende Erscheinung (Abbild) ist 

 also die Interferenzwirkung einer Beugungs- 

 erscheinung. Zur Bestimmung des Abbildes 

 muB der Ausdruck (7) fur S nach Einsetzung 

 der Integrationsgrenzen explizite berechnet 

 werden. 



Bei Vorhandensein eines Objektes von kom- 

 plizierter Struktur ist die Berechnung von S 

 wohl kaum durchfiihrbar. Dagegen lassen sich 

 auch dann allgemeine Regeln herleiten, welche 

 angeben, unter welchen Bedingungen ein dem 



vorhandenen Objekt ahnliehes Abbild auf- 

 tritt, oder welchem fingierten Objekt statt des 

 vorhandenen die auftretende Erscheinung iihn- 

 lich ist. Es ergeben sich die folgendcu Resul- 

 tate: 



UmfaBt die Apertur des abbildenden Systems 

 alle am Objekte gebeugten Strahlen von noch 

 zu berucksichtigender Wirkung, so erzeugt d;is 

 System in der zum nichtselbstleuchtenden Objekt 

 konjugierten Ebene ein nach Struktur und Phase 

 vollkommen ahnliehes Abbild. 



Liegen dagegen auBerhalb der Apertur ge- 

 beugte Strahlen von nicht zu vernachlassigender 

 Amplitude, oder blenden wir aus dem von der 

 Apertur umfaBten Beugungsphanomen einzelne 

 Teile kiinstlich heraus, so hort die Aehnlichkeit 

 des Abbildes auf, und wir erhalten unter Um- 

 standen ein selbst in bezug auf die Struktur un- 

 ahnliches Abbild. Welche Abblendung man 

 aber auch wahlt, und welche Apertur bei ge- 

 gebenem Objekt man auch benutzt, in alien 

 Fallen laflt sich ein Satz ableiten, der ganz all- 

 gemein die Art der Unahnlichkeit bestimmt. 



Dazu fingieren wir ein neues Objekt (Of), 

 dessen natiirliches und vollstandiges Beugungs- 

 phanomen iibereinstimme mit dem durch Ab- 

 blendung usw. kunstlich unvollstandig gemachten 

 Beugungsphanomen des realen Objektes (O r ). 



In bezug auf die Unahnlichkeit kann 

 dann folgender allgemeine Satz ausgesprochen 

 werden : 



Das Abbild des gegebenen Objektes O r 

 ist identisch mit dem absolut ahnlichen Ab- 

 bild desjenigen fingierten Objektes Of, wel- 

 ches gerade den von der Oeffnung des Sys- 

 tems aufgenommenen Teil des Beugungs- 

 plianomens von O r als vollstandiges Beu- 

 gungsphanomen erzeugen wtirde. 



6d) Numerische Apertur und 

 Grenze der Leistungsfahig- 

 k e i t. Die numerische Apertur ist 

 nach Abbe gleich dem Produkt n.sin U 

 aus dem Brechungsquotienten n des Objekt- 

 mediums und dem Oeffnungswinkel U der 

 abbildenden Biischel mafigebend fiir die 

 Lichtmenge, welche das optische System 

 S vom Objektelement zum konjugierten 

 Bildelement hinfiihrt. Die Beziehung 

 zwigchen der numerischen Apertur und 

 dem Grade der Bildahnlichkeit Ia6t sich 

 am iibersichtlichsten fur den Fall der Abbil- 

 dung eines nichtselbstleuchtenden Gitters 

 erlautern. 1st 1 die Wellenlange des Lichtes 

 und y die Gitterskonstante, so ist die Anzahl 

 h der Beugungsspektra innerhalb des Oeff- 

 nungswinkels gegeben durch 



y 



h = n sin U 



(9) 



Wie wir wissen, ist die Aehnlichkeit des 

 Bildes urn so gro'Ber, je gro'Ber h ist; die 

 ideale Aehnlichkeit wird erreicht fiir h = 

 Bei gegebenem Gitter (y) und gegebener 

 Wellenlange (A) des auffallenden Lichtes ist 

 die Anzahl (h) der vom Oeffnungswinkel 

 aufgenommenen, also zum Bilde beitragenden 



