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Atmospharische Optik 



zontal. Doch behalten die Kristalle diese 

 mittleren Lagen nicht andauernd bei, sondern 

 es erfolgt ein fortwahrendes Schwanken um 

 horizontale Achsen, wohl auch ein Drehen i 

 um vertikale Achsen, ahnlich wie ein Blatt 

 Papier aus groBerer Hb'he zu Boden fallt. 

 Die Brechung eines Lichtstrahles in 

 einem optischen Prisma aus Eis erfolgt nach 

 dem gewolmlichen Brechungsgesetz in der 

 folgenden Weise: Wir nehmen hier an, da 13 

 der einfallende Strahl senkrecht zur brechrii- 

 den Kante liege. In Figur 11 liege in die 

 brechende Kante, OA'und OB sind die 

 Schnittlinien der Kristallflachen mit der u 

 Papierebene. Der Strahl fallt aus S in A ein, 

 wird zum Lot gebrochen, geht im Kristall ! 

 bis B und wird dort vom Lot nach S' gelenkt. 



Totalablenkung i>'. Es ist - = n, - = n, 



Sill L olil I 



wo n don Brechungsexponent des Eises be- 

 deutet. Er betragt fur verschiedene Strahlen 



Mitte des Rot 1,307 



Orange 1,3085 



Gelb 1,3095 



,, Grim 1,3115 



Blau 1,315 



Violett 1,317 



Der mittlere Exponent (fur WeiB) ist 

 n = 1,31. Man findet aus der Figur S - 

 i + i' - - (r + r'). Nun ist aber r + r' = = , 

 wenn der konstante brechende Winkel 

 des Eiskristalls, somit auch tf==i + i'--. 

 Diese totale Ablenkung <V hat nun bei einem 

 bestimmten Einfalls- und Ausfallswinkel i 

 und i' einen kleinsten Wert. Und zwar findet 

 man mit Hilfe der obigen beiden Beziehungen 

 fiir die Breclmngswinkel, daB fiir i == \' 

 <V ein Minimum ist: <V == 2i -- (die Ab- 

 leitung ist in den Lehrbiichern der Optik 

 zu finden). Dieser Fall der Minimumablen- 

 kung hat nun fiir die Erscheinungen der 

 Halos eine besondere Bedeutung und zwar 

 aus folgendem Grunde: Fallen die parallelen 

 Sonnenstrahlen (SA, S"S') auf die Eis- 

 kristalle (vgl. Fig. 11), so werden sie durch , 

 diese in eine andere Richtung gebrochen; 

 der Ablenkungswinkel ist <v. Das Auge in 

 S' erhalt somit aus der Richtung BS' von 

 dem hier betrachteten Kristall einen Strahl 

 /uge.-andt. Das Auge sieht aber gleichzeitig 

 die Sonne in einer zu AS parallelen Richtung 

 S"S'. Der eine Kristall erzeugt also im Ab- 

 stand ()' von der Sonne ein Nebenbildchen 

 von ihr. Nun sind unzahlige Eiskristal'e 

 in der Luft vorhanden und alle verschieden 

 zu den Sonnenstrahlen orientiert, so daB 

 der Einfallswinkel i alle moglichen Werte 

 hat und somit auch A fiir jeden Kristall ein 

 anderes ist. Das Auge muB also eigentlich 

 eine Unzahl soldier Sonnenbildchen neben- 

 einander sehen, in alien physikalisch mog- 

 lichen Distanzen (V von der Sonne, bei denen 



der Strahl das Prisma passieren kann. Eine 

 kurze Reclmung lehrt nun, daB in der Mini- 

 mumablenkung <>' die Lichtintensitiit weit- 

 aus am groBten sein muB, da von den ganz 

 willkiirJich orientierten Kristallen gerade in 

 diese Richtung cV besonders viele Strahlen ge- 

 sendet, sie dahin geradezu konzentriert werden. 



Die totale Ablenkung ergab sich oben zu 

 (V == i + i' ; man findet nun aus den obigen 

 Gleichungen fiir i' den Wert 



sini' = sin [n 2 sin 2 i cos sini; 



es kann somit in der Gleichung fiir S das i' durch 

 und i ersetzt werden. Da bei den Kristallen 

 konstant ist, so folgt ii als Funktion von i alle in; 

 d. h. es entspricht jedem Einfallswinkel i eine 

 bestimmte Ablenkung <)' 



()'==i + arc sin (sinl/n 2 sin 2 i cos sin i) 



Die Kristalle sind ganz regellos gegen die 

 parallelen Sonnenstrahlen orientiert und in sehr 

 grofier Zahl vorhanden. Es werden also alle 

 moglichen Einfallswinkel i ungefahr in der 

 gleiehen Zahl vorkommen. Betrachten wir jene 

 Kiskristalle, die zufiillig so orientieit sind, daB 

 die Einfallswinkel bei ihnen zwischen i und 

 i + di liegen. Ihre Zahl wird dem gewahlten 

 Intervall di proportional sein, z. B. a di, wo a 

 offenbar von der Zahl der iiberhaupt vorhandenen 

 Kristalle abhiingt. Diese Zahl von Eiskristallen 

 wird die Lichtstrahlen um der Grofie nach sehr 

 ahnliche Ablenkungswinkel d ablenken. Ihre 

 Grenzwerte werden einerseits d, andererseits 

 6 + Ad sein; d. h. alle Strahlen, die diese Kristalle 

 treffen, werden abgelenkt um Winkel, die zwischen 

 6 und d + dd liegen. Die Zahl dieser Strahlen 

 ist die gleiche geblieben wie oben, a di. Nun ist 

 aber nach der obigen Formel 



cosi'(sini' 



di = 



o: sin i).dd 



cosi'(sini' + cos a sin i) cos i (sin i-|- cos cc sin i') 

 = cp.Ad, 



wie sich durch Differentiation ergibt, Wird 

 dieser Wert von di in adi, die Zahl der Strahlen, 

 eingesetzt, so ergibt sich hierfiir aqpdtf, wo 9? der 

 obige Bmch ist. Da, wie oben gesagt, nun die 

 Ablenkungswinkel dieser Strahlen zwischen 6 

 und d + diS liegen und ihre Zahl gleich geblieben 

 ist, so bedeutet offenbar aqpd<J auch die Zahl der 

 abgelenkten Strahlen, deren Ablenkungswinkel 

 zwischen <J und 6 + dd liegen. Diese Zahl ist 

 nun nicht mehr konstant, sondern hiingt von 

 i und i' ab. Und zwar hat offenbar der Ausdruck 

 ff_ fiir nngleiche Werte von i und i' einen eiul- 

 lichen Wert, wahrend er fiir den Fall, dati i = i', 

 unendlich wird: dann wird namlich der Nenner 

 von y zu Null. Physikalisch heifit dies: im Falle, 

 daB i nahezu gleich' i', ist die Zahl der Strahlen 

 mit Ablenkungswinkeln, die sich nur wenig 

 (um dd) voneinander unterscheiden, ganz un- 

 gleich viel grofier, als wenn iSri'. Die Bedingnng 

 i == i' ist aber die der m i n i m a 1 e n A b - 

 1 e n k u n g. Wir erhalten also von jenen Kri- 

 stallen, die zufiillig gerade so in derLuftschweben, 

 daB die minimale Ablenkung ^ durch sie erfolgt, 

 die abgelenkten Strahlen an einen Urt kon- 

 zentriert, was nicht gilt fiir die Strahlen, bei 

 denen d><V Aus diesem Grunde kann man 



