Bewegung (Allgemeine Bewegungslehre) 



Aus dieser allgemeinen Erklarung wird man 

 sich vielleicht noeh keine konkrete Vorstellung 

 davon machen, wie aus diessr Definition die Ge- 

 schwindigkeit wirklich beicchnet wird. An einem 

 einfachen Beispiel wird aber sofort alles klar. 



Wir wahlen den freien Fall im luftleeren 

 Raum. Hier 1st, wenn wir den Weg auf einer 

 vertikalen Geraden messen: 



ds d . 2jr 

 -dF = ^ sm -T 



= ^ gt 2 



38) 



Der im Zeitraum t , t 1 zuriickgelegte Weg ist: 

 1| 



daraus folgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 

 in diesem Zeitraum: 



-^ 1 



P 1 Q - &(t -i- t, \ erf _| a (i f \ 



]~ i , ~ p &\J ~ U 0/ 8 1 I q to \"J vQ) 



Analog ist die Durchschnittsgeschwindigkeit 

 c 2 in dem kleineren Zeitraum t , t a 



1 

 fa = gto + -g-glta to) 



Wenn wir c, und c 2 vergleichen, so sehen wir, 

 dafi der erste Summand gt beiden gemein- 

 sam ist, im zweiten aber an Stelle von t^ 1 , 

 der kleinere Wert t 2 1 g_etreten ist. Je nither 

 wir nun den Endpunkt dieses Zeitraumes an t 

 wahlen, desto kleiner wird dieser Summand, 

 desto naher kommt er dem We.t Null, wahrend 

 der erste Summand seinen Wert gt beibehalt. 

 Es ist also. 



Die Geschwindigkeit v ist also zur Zeit t 

 gleich gt : 



v=gt 39) 



wie aus der elementaren in der Scliule gelernten 

 Mechanik bekannt ist. 



Mit der Bildung der Grenzwerte: 



Jlim gp(t 1 ) gp(t ) 



tl=t C4- 4. 



t c i to 



beschaftigt sich die Difierenzialrechnung. In 

 den Lehrbiicher dieser Wissenschaft findet mpoii 

 die allgemeinen Regeln zu deren Berechnung. 

 In der Bezeichnung dieser J ehre nennt man 

 den genannten Grenzwert den Differential- 

 quotienten der Funktion qp(t) an der Stelle t . 

 Man kann also sagen, man erhalt die Ge- 

 schwindigkeit, indeni man die den Weg dar- 

 stellen.de Funktion nach der Zeit differenziert 

 und man schreibt: 



ds _ dqp(t) 

 dt dt 



= qp' (t) 4 5 , , 20) 



Alle diese Schreibweisen bedeuten dasselbe^ 

 Man driickt ihre Aussage auch kurz so aus: 

 Die Geschwindigkeit ist der Differentialquotient 

 des Weges nach der Zeit. Wer differenzieren 

 kann, kann auch zu jeder vorgelegten Bewegungs- 

 gleichung die Geschwindigkeit bilden. 



Wenn die Bewegung eine schwingende und 

 durch: 



2n , 

 s = sin -r t 



gegeben ist, so lautet die Geschwindigkeit zur 

 Zeit t: 



= cos 

 2 



O JO 



_ f d ^ 



T ' dt T 



Man kann sich den Uebergang von der Durch- 

 schnittsgeschwindigkeit zu ihrem Grenzwert 

 fplgendermafien anschaulieh machen: Den ze it- 

 lichen Verlauf der Bewegung versinnbikl- 

 lichen wir uns durch ein sogenanntes Zcit- 

 W e g d i a g r a m m. Zu diesem Zwecke ziehen 

 wir uns eine t-Achse und senkrecht dazu eine 

 s-Achse, Jede Kurve s = = cp (t) in der Ebene 

 dieser Achsen ordnet jedem Zeitpunkt t eincn 

 Weg s zu, stellt daher eine Bewegung in eincr 

 Geraden dar. 1st speziell die Bewegung eine 

 gleichf ormige , so ist die Zeitwegkurve 

 eine Gerade s= ct. Seien nun t , s n liz\v. 

 t,, s, die Koordinaten zweier Punkte der Kurve; 

 ihre Verbindungslinie, eine Sehne der Kurve, 

 schlieflt dann einen Winkel mit der t-Achse 



*s Q 



ein, dessen trigonometrische Tangente 



t] to 



ist, also die Durchschnittsgeschwindigkeit im 

 Zeitraum t , t,. Riickt nun t, gegen t , so 

 niiliert sich die Sehne immer mehr der Kurven- 

 tangente in t . Und die trigonometrische Tangente 

 des Neigungswinkels der Sehne geht in die des 

 Neigungswinkels der Kurventangente iiber. 

 Die Geschwindigkeit im Punkte t ist also gleich 

 der trigonometrischen Tangente des Neigungs- 

 winkels der Kurventangente im Punkte t , s 

 der Zeitwegkurve. 



7. Beliebige ungleichformige Bewe- 

 gung. Der Punkt P moge sich jetzt nach 

 einem beliebigen Gesetz auf einer beliebigen 

 Kurve bewegen. Die Bewegungsgleiclnmgen 



Fig. 3. 



seien durch (3) gegeben. Zur Zeit t t 

 befinde sich P in A und habe die Koor- 

 dinaten: 



bezw. den Lagevektor: 



r =^(t ) (vgl. Gleichung 4) 



