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Bewegimg (AUgemeine Bewegungslehre) 



Zur Zeit t, befinde sich P in A t und es 



hat der Lagevektor den Wert: 



Die Verschiebung in dem Zeitraum be- 

 tragt: r t r , wir schreiben (vgl. Gleichung 8): 



*i r =& 01 (vgl- Fi g- 3 ) 

 Wir nennen 



fr 01 tl _ t|) 



b i = : t a 1 ti 1 



die durchschnittliche Verschiebungsgeschwin- 

 digkeit im Zeitraum t , t x ; es ist die Ge- 

 schwindigkeit, mit der P sich geradlinig 

 gleichformig bewegen miifite, um in der Zeit 

 tj 1 von A nach A x zu gelangen. Sie ist 

 ein Vektor, dessen Richtung und Sinn durch 

 die der Verschiebung b ni gegeben ist. Wenn 

 nun t x gegen t n riickt, also nach und nach in 

 t a , t 3 usw. iibergeht, so geht A. l in A,, A ? 

 usw. iiber (Fig. 3) und die dnrclischnittliche 

 Verschiebungsgeschwindigkeit nahert sich 

 ahnlich wie die durchschnittliche Gcschwin- 

 digkeit bei der geradlinigen Bewegung ( 6) 

 in den praktisch vorkommenden F/iilen 

 einem Grenzwert; die Richtung der Ver- 

 schiebung, die ja Sehne der Kurve ist, geht 

 dabei in die Richtung der Kurventangente 

 iiber. Es geht also die durchschnittliche 

 Verschiebungsgeschwindigkeit. wenn wir sie 

 fiir immer kleiner und kleinere Werte be- 

 rechnen, in einen Vektor rj iiber, der die 

 Richtung der Kurventangente in A hat. 

 Diesen Vektor: 



t> == lim 



lim _ ^m 21) 



: 



. j 1 t^t.^ t fl 



nennt man den Geschwindigkeitsvek- 

 t o r zur Zeit t == t . Wenn wir das Zeichen ~ 

 fiir ,,naherungsweise gleich" einfiihren, kon- 

 nen wir auch schreiben: 



22) 



oder r,^r a + b(t )(t t 1 ) .... 23) 

 Dabei bedeutet in rj(t a ) die Klammer eine 

 funktionelle Abhangigkeit, ,,Geschwindigkeit zur 

 Zeit t , nicht aber ein Produkt. 



Und zwar gilt diese Gleichung um so ge- 

 nauer. je kleiner das Zeitintervall t x 1 ist. 

 Nach ihr laBt sich die Lage von P zur Zeit 

 tj aus der Lage zur Zeit t und dem Ge- 

 schwindigkeitsvektor berechnen. Eswird ein- 

 fach z i Lagevektor r der mit dem Zeit- 

 intervall t x 1 multiplizierte Geschwindig- 

 keitsvektor nach ckn R a geln der Vektor- 

 addition addiert. Die Vektorgleichung (22) 

 konnen wir durch die drei Gleichungen 

 zwischen den Komponenten der Vektoren 

 nach den Koordinatenachsen ersetzen. Die 

 Komponenten dcs G^schwindigkeitsvektors 

 seien rj x , rj y , t) z ; die Komponenten der Ver- 

 schiebung im Zeitraum tj 1 sind: x x x , 

 Yi Yo> Z i^z ; cs gilt also: 



t. 



tJv~ 



>'i Jo 



o 4 10 



oder auch wegen Gl. (3): 



't^-T 24 > 



l l 1 



i t t 



usw. 



25) 



Wenn wir nun wirklich tj gegen t riicken 

 lassen und den Grenzwert berechnen, so werden 

 aus den Nahenmgsgleichungen exakte Glei- 



chungen und wir erhalten: 



lim 



t = t 



i) qp(t 



TJ t 

 lim *(ti) Z(t ) 



26) 



lim 



t ft 



Diese Grenzwerte lassen sich nun in der 

 Sprache der Differentialrechnung schreiben: 



_ dqp(t) _ dx d#(t) dy 



dt ' 



dt 



dt ' 



dz 



dt dt 

 daraus folgt fiir die Lange des Vektors: 



27) 



V 



^x_ 



dt 



_dy_ 

 dt 



dz \2 



. ... 28) 



und fiir die Winkel a, /J, y, die t>, also auch die 



Tangente der Bahnkurve, mit den Achsen ein- 

 schlieBt: 



dx dy dz 



~dT ~dT ~dlT 



cos: -j-p, cos /?= -j^p cosy = _ . . 29) 



Man kann also aus den Bewegungsgleichun- 

 gen (3) durch Differenzieren den Geschwindig- 

 keitsvektor berechnen. 



Wenn wir uns den ganzen Bewegungsverlauf 

 durch die Zeitpunkte t , t,, t 2 ... t n in sehr 

 kleine Zeitabschnitte zerlegt denken und wir 

 den Geschwindigkeitsvektor t> , to,, t> 3 ... tin i 

 in den ersten n 1 dieser Zeitpunkte kennen, 

 so laBt sich der Lagevektor r n zur Zeit tn aus dem 

 zur Zeit t , der r heiBe, durch wiederholte An- 

 wendung der Gleichung (23) naherungsweise 

 berechnen: 



r n = r + (t, 1 ) + to, (t a t,) + . . . 



n 1 



+ ton-1 (tn tn-l) = t + & toi (ti + 1 ti ) 30) 



o 



Auch die in Gleichung 30 auftretende Summe 

 nahert sich, wenn wir das Zeitintervall t bis tn 

 in immer kleinere und kleinere Zeitstrecken 

 teilen, wie in der Integralrechnung gezeigt 

 wird, einem Grenzwert, und wir schreiben in der 

 Symbolik dieser Eechnung: 



tn 



r n = r + 



bdt 



31) 



Wenn wir diese Vektorgleichung in Kom- 

 ponenten zerlegen, so wird daraus: 



