Bewegung (Allgememe Bewegungslehre) 



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tn 



/' 



x n = = x + I bxdt, usw. 



32) 



i 1 



Man kaiin sich den Verlauf der Aende- 

 rung des Geschwindigkeitsvektors bei einer 

 bestinnnten Bewegung von P dadurch ver- 

 anschaulichen, daB man zu der Bewegung 

 von P eine Bewegung ernes Punktes P' kon- 

 struiert, dessen Lagevektor zu jeder Zeit t 

 dem Geschwindigkeitsvektor von P nach 

 Lange, Richtung und Sinn gleich ist. Diese 

 Bewegung von P' die.uns ein Bild der Ge- 

 schwindigkeitsanderungen bei der Bewegung 

 des Punktes P liefert, nennt man den zur 

 Bewegung von P gehorenden H o d o - 

 graph en. Man siekt leicht: Falls die 

 Bewegung von P geradlinig und gleich- 

 fb'rmig ist, so ist sein Geschwindigkeitsvektor 

 immer nach Lange und Richtung konstant ; 

 also auch der Lagevektor von P'; der Hodo- 

 graph besteht also aus einem einzigen Punkt, 

 P' bleibt in Ruhe. Falls die Bewegung von 

 P geradlinig ist, aber ungleichformig, so be- 

 halt to seine Richtung bei , seine Lange 

 wechselt aber; dasselbe tut der Lagevektor 

 von P', weshalb sich dieser Punkt auch 

 langs einer Geraden bewegen mu6. 



8. Begriff der Beschleunigung. Wenn 

 der Geschwindigkeitsvektor im Laufe der Be- 

 wegung sich nach Lange oder Richtung andert, 

 so nennt man das MaB dieser Anderung die 

 Beschleunigung der Bewegung. Die- 

 ser wissenschaftliche Begriff deckt sich nicht 

 ganz mit dem, was man im gewohnlichen 

 Leben Beschleunigung nennt. Wenn etwa 

 ein Punkt P sich langs eines Kreises mit 

 konstanter Geschwindigkeit bewegt, wird der 

 gewolmliche Sprachgebrauch sagen, es sei 

 keine Beschleunigung vorhanden. Der wissen- 

 schaftliche liingegen, der nicht nur die Aen- 

 derung des Betrages, sondern auch der 

 Richtung einer Geschwindigkeit in Rech- 

 nung zieht, spricht auch hier von Be- 

 schleunigung. 



Die Aenderung des Geschwindigkeitsvek- 

 tors von P ist aber identisch mit der Aenderung 

 des Lagevektors von P' beim Hodographen 

 (Abschnitt 7). Wir verstehen demgemaB 

 unter dem Beschleunigungsvek- 

 t o r des Punktes P nichts anderes als den 

 Geschwindigkeitsvektor des Punktes P' (des 

 Hodographen der ursprunglichen Bewegung) 

 im betreffenden Zeitpunkt. Der Beschleuni- 

 gungsvektor It) wird also aus dem Geschwin- 

 digkeitsvektor t) genau so berechnet, wie 

 dieser aus dem Lagevektor r, da ja b der 

 Lagevektor, It) der Geschwindigkeitsvektor 

 der Hodographenbewegung ist. 



Es gelten also analog den Formeln (22) 

 und (23) hier die Formeln: 



Handworterbuck der Naturwissenschaften. Band I 



... 33) 



... 34) 



Dabei ist unter tu(t ) wieder die ,, Beschleu- 

 nigung zur Zeit t " zu verstehen. 



Nach Gleichung (34) laBt sich der Ge- 



' schwindigkeitsvektor zur Zeit t x aus dem 



zur Zeit t annahernd berechnen, wenn man 



den Beschleunigungsvektor zu dieser Zeit 



kennt. 



Auch fiir die Komponenten tox, toy, toz 

 des Beschleunigungsvektors geJten die den Glei- 

 chungen (26) analogen: 



t>x (tj) b x (t ) 



liui 



toy = * t 



toz= /^ 

 ti to 



ti 1 



i) tJy(t ) 



ti-to 



i) Mt ) 



ti t n 



35) 



In der Sprache der Differentialrechnung 

 lassen sich diese Grenzwerte schreiben: 





dtix 





db 



und wenn wir fiir die bx, by, t) z ihre durch 

 Gleichung (27) gegebenen Werte einsetzen: 



2 qp(t) d 2 x d 2 ^(t) d 2 y 



dt 2 " 'dt 2 "'^ 371 ~W~ "dt 2 " 1 



ro x = 



lt)z = 



dt 2 



dt 2 



37) 



Die Komponenten des Beschleunigungsvektors 

 erhalt man also, indem man die Bewegungs- 

 gleichungen zweimal nach der Zeit differenziert. 



Die Lange von to betragt: 



Man nennt [h>| den Betrag der Beschleunigung. 

 Fiir die Winkel, I, ft, v, die it) mit den Achsen 

 einschliefit, gilt: 



, tt>x tfv tDz 



= I^' COSft = : M' c S7;== N- 



Ebenso gilt analog Gleichung (30): 

 j t> n ~ b + iv (t! 1 ) + It) 1 (t, tj) + ... + ... 40) 



n 1 



-|- H)n 1 (tn tn l) = t> + ^ tti (ti + 1 ti) 



o 



Dabei bedeutet immer ft>i soviel wie ,, Beschleu- 

 nigung zur Zfiit ti". Diese Forme] JJiBt sich in 

 der Symbolik der Integralrechnung schreiben: 



tn 



= DO + 



Die einfachste Art der beschleunigten 



Bewegung ist die gleichformig b e - 



schleunigte. Darunter versteht man 



eine Bewegung von P, bei der die Hodo- 



I graphenbewegung eine gleichformig gerad- 



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