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Bewegtmg (AUgemeine Bewegungslehre) 



linige ist. Es stehen also bei der gleich- 

 formig beschleunigten Bewegung to und ti 

 in derselben Beziehung wie b und r bei der 

 gleichfb'rmig geradlinigen. Es ist infolgedessen 

 cter Beschleunigungsvektor to nach Richtung 

 und Lange konstant. Und die Beziehungen: 



= tot, to = , t = 



to 



. 42) 



bestehen analog den Beziehungen (9), (10), 

 (11) bei der gleichformig geradlinigen Bewe- 

 gung. Wir kb'nnen daher auch sagen: bei 

 der gleichformig beschleunigten Bewegung 

 nimmt die Geschwindigkeit t) in gleichen 

 Zeiten um den gleichen Betrag zu und die 

 Richtung der Geschwindigkeit bleibt fort- 

 wahrend die gleiche, also ist die Balm eine 

 Gerade. Bei den Formeln (42) ist vorausge- 

 setzt, daB die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 

 den Wert Null hatte. 



Ist die Geschwindigkeit zur Zeit t gleich 

 b , so folgt aus Gleichung (33) und (40) 



(In Gleichung (40) sind namlich to, = ft> 2 = . . . 

 = ion i = ft) zu setzen). Oder auch: 



to = too + tot . . . . 43) 

 Ein Beispiel f iir die gleichformig beschleunigte 

 Bewegung bietet der freie Fall der Korper im 

 luftleeren Raum< 



In der Sprache der Differentialrechnung 

 schreibt man, wenn der Korper sich in irgend- 

 einer Richtung, auf der die Weglange durch s 

 gemessen wird, mit der konstanten Beschleu- 

 nigung g bewegt: 



d 2 s 



Daraus folgt durch einmalige Integration: 



dt 



ds 



CIS 



wo C eine aus dem Anf angswort von zu be- 



Clt 



stimmende Konstante ist; soil fiir t = die Ge- 



ds 

 schwindigkeit - den gegebenen Wert to haben, 



Clti 



so wird C = to und wir erhalten: 



44) 



ds 



also die Formel (43), da ja- - = to und g = ft>ist. 



G. L 



Nicht so ganz einfach ist es, ohne Hilfe 

 der hoheren Mathematik den in t Zeit- 

 einheiten bei einer gleichformig beschleunigten Be- 

 wegung zuriickgelegten Weg zu berechnen. Eine 

 annahernde Berechnung gestattet Gleichung (30); 

 da die Bewegung in einer Geraden erfolgt, milit 

 ja der Lagevektor r den zuriickgelegten Weg. Wir 

 wollen etwa r = 0, t = setzen, d. h. den Ko- 

 ordinatenursprung und den Zeitanfang mit dem 

 Beginn der Bewegung zusammenfallen lassen. 

 Nun ist wegen Gleichung (42): 



bo = ft>to == 0, to] == tot], to 2 == ft>to, . . . 



ton i = tutn i, 

 daher: 



r n ~ tot, . (t 2 tj) + tot, (t s 1) + tot 3 (t 4 t a ) 



+ . t . totn 1 (tn tn l) 



Wir machen jetzt die zwischen und t n ein- 

 geschaltenen Zeitintervalle alle gleich einer und 

 djerselben GroBe T, also: 



rp __ " n . _ __ f _ ^. | 



n 



t k = kT = ktn 



dann ist: 

 tot! 



n 



(n-l)n 

 2n 2 



to 



n 1 

 IT' 



Der in der Zeit t zuriickgelegte Weg ist also 

 annahernd durch: 



t 2 n ~ 1 

 2 n 



gegeben, die Anniiherung ist um so besser, je 

 groBer die Anzahl der Intervalle n ist, in die wir 

 die Zeit t teilen; je groBer aber n ist, desto 



n ^1 

 weniger ist : von 1 verschieden; wir wer- 



den also den Weg genau erhalten, wenn wir an 



Stelle von 



n -1 

 n 



den Wert 1 setzen. Also: 



s=-f-t 45) 



Wenn wir fiir ft) die Beschleunigung g 

 der frei fallen den Korper einsetzen, er- 

 halten wir: 



s = |t 2 45a) 



Und dies ist die bekannte Galileische 

 Formel fiir den beini freien Fall im luftleeren 

 Rauni zuriickgelegten Weg in der Zeit t. 

 Ebenso erhalten wir fiir die Endgeschwindig- 

 keit v nach t Zeiteinheiten, indem wir in 

 Gl. 44 die Anfangsgeschwindigkeit t> = 

 setzen : 



v=gt 44 a) 



Viel leichter als durch die obigen Summen- 

 bildungen erhalten wir die Formel fiir den Weg 

 mit Hilfe der Integralrechnung. Wenn wir Glei- 

 chung (44) nochmals integrieren, erhalten wir: 



-|- t 2 + toot + C' 

 Soil fiir t = auch s = Osein, so wird C'= und: 



s = -^- 1 2 + to t 



46) 



i das ist die Formel fiir den Weg, wenn eine An- 

 ! fangsgeschwindigkeit b gegeben ist. Fiir to = 

 folgt wieder Gleichung (45 a). 



Eine weitere sehr einfache Form der be- 

 | schleunigten Bewegung ist die Bewegung des 

 ; Punktes P mit konstanter Geschwindigkeit 

 langs eines Kreises vom Radius r. Hier 

 andert sich die Geschwindigkeit nur der 

 Richtung nach. Ihr Betrag habe den konstan- 

 ten Wert v. Also ist der Hodograph ein 



