(ABgemeine Bewe^ungslehre) 



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Krcis, da ja sein Lagevektor gleich dem 

 Geschwindigkeitsvektor i) 1st, also einem 

 Vektor von konstanter Lange; wahrend P 

 den Krois mit dem Radius r durchlaui't, 

 durchlauft P' den Hodographenkreis mit dem 

 Radius v; die Umlaufszeit T ist bei beiden 

 dieselbe; sie wird erhalten, indem man die 

 Lange des Kreisumfangs durch die Ge- 

 schwindigkeit dividiert. Das ergibt fiir den 

 Punkt P: 



T = 



47) 



Die Geschwindigkeit der Hodographen- 



bewegung sei w, also gilt anch 



48) 



' der Bewegung von P beschreibt der von 

 aus gezogene Lagevektor r eine gewisse Flache. 

 "Wenn wir die Zeit der Bewegung genugend 

 klein wahlen, kb'nnen wir diese Flache als 

 eben betrachten, und zwar als ein Dreieck 

 OAiAa, wo A! und A 2 die Lagen von P zu 

 den Zeiten t t und t 2 sind. Die Seiten des 

 Dreiecks sind die Lagevektoren r l5 r 2 und die 

 Verschiebung b 12 =r 2 r^ (s. Fig. 2) Der 

 Flacheninhait des Dreiecks sei f 12 , dann 

 nennen wir: 



f lg 



t 2 t^ 



die durchschnittliche Flachengeschwindigkeit 

 im Zeitraum t 1} t 2 und: 



w 



Durch Gleichsetzung von (47) und (48) 

 fin den wir: 



w = .... 49) 



w ist die Geschwindigkeit der Hodo- 

 graphenbewegung, also die Beschleunigung 

 der Kreisbewegung von konstanter Ge- 

 schwindigkeit v langs des Kreises mit dem 

 Radius r. Die Richtung des Beschleunigungs- 

 vektors to ist senkrecht zur Tangente des 

 Kreises, d. h. zum Geschwindigkeitsvektor rj ; 

 clenn letzterer ist parallel clem Radius, ersterer 

 der Tangente des Hodographenkreises; daher 

 ist to stets gegen das Zentrum des von P 

 durchlaufenen Kreises gerichtet. 



Bei einer beliebigen Bewegung laBt sich der 

 Beschleunigungsvektor ro in eine Komponente 

 in der Richtung der Tangente und in eine Kom- 

 ponente in der dazu senkrechten Richtung zer- 

 legen. Man spricht von derTangentialbe- 

 schleunigung und der Normal- oder 

 Zentripetalbeschleunigung. Bei der 

 gleichfb'rmigen Kreisbewegung existiert, wie 

 wir gesehen haben, nur Normalbeschleunigung; 

 beim freien Fall, wo der Beschh unig_ungsvektor 

 immer die Richtung der Bahn hatte, ist, wie bei 

 jeder geradlinigen Bewegung, nur eine Tangen- 

 tialbeschleunigung vorhanden. Der Wert der 

 Zentripetalbeschleunigung lafit sich iibrigens 

 ganz allgemein angeben. Wenn P sich be- 

 liebig bewegt, so konnen wir einen Kreis durch 

 seine Lage zur Zeit t ziehen, der sich mog- 

 lichst gut an die Bahnkurve anschmiegt. Der 

 Radius r dieses Kreises heiBt der Kriimmungs- 

 radius der Bahnkurve im betrachteten Punkt. 

 Dann konnen wir die wirkliche Bewegung in der 

 Umgebung dieses Punktes durch eine gleich- 

 fbrmige Kreisbewegung mit der augenblicklichen 

 Geschwindigkeit v ersetzen; diese hat aber die 

 Normalbeschleunigung : 



v 2 

 ton = 50) 



Die wirkliche Bewegung unterscheidet sich 

 in der Umgebung des Punktes von der fingierten 

 nur durch das Vorhandensein einer Tangent ial- 

 beschleunigung. 



9. Flachengeschwindigkeit. Wahrend 



f= 



lim 



t,=t. 



f 



ia 



53) 



die Flachengeschwindigkeit im Zeitptinkt t r 

 Man betrachtet auch den Vektor f der Flachen- 

 geschwindigkeit und versteht darunter einen 

 Vektor, dessen Betrag die durch Gleichung (53) 

 gegebene Zahl f ist, dessen Richtung senkrecht 

 auf der Ebene von tj und r, steht und dessen 

 Pfeil clorthin zeigt, woher gesehen die Drehung 

 von tj nach r 2 im Sinne des Ulirzeigers erfolgt. 

 Wenn A, die Koordinaten x,, y lt Zj hat, und A 3 

 die Koordinaten x 2 , y 2 , z 2 , so sind nach der ana- 

 lytischen Geometrie die Koruponenten f x , fy, fz 

 von f gegeben durch: 



t, t, 



2f z = 



oder, wie sich durch Umi'ormung ergibt: 



Yi 



X 2 



54) 



2 1 2 1 



daraus folgt we'gen Gleichung (24): 



2fx^- i yr)z ztty, 2 f y ^- z t>x x t>z, 



2f z -^XDy yox .... 55) 

 Wenn wir nun zur Grenze ubergehen, indem wir 

 das Zeitintervall tj, t, sich der Null nahern 

 lassen, gehen die naherungsweise giltigen Glei- 

 chungen (55) in streng richtige iiber. 



In der Sprache der Differentialrechnung 

 schreibt man: 



dz dv j2fy = z dx dz 



dt 



dt 

 dx 



dt 



56) 



Und in der Sprache der Vektoranalysis heifit es 

 einfach: 



2 f = [t t)] ..... 57) 



10. Zusammensetzung von Bewegun- 

 gen. Ein Punkt P fiihre in bezug auf einen 

 Bezugskorper K! eine bestimmte durch die 



Gleiclmngen 



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