Bewegung ( A 1 k< -im -ini I ' '\v< ^-unp-lt -Im ) 



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Wenn wir diesen Wert von t in die Formel 

 (58) fiir y, die Vertikalkomponente des Lage- 

 vektors, einsetzen, erhalten wir die gro'Bte er- 

 reichte Heine: 



c 2 sin 2 K . 



Wenn y = wird, kehrt P wieder in die Hb'he 

 der Ausgangslage zuriick, das geschieht aber zur 

 Zeit: 



t = 2c Sin a .62) 



g 



der doppelten Steigzeit. Die Horizcntal- 

 entfernung, die P bei diesem Zuruckkehren 

 vom Ausgangspunkt hat, nennt man Wurfweite, 

 sie wird durch Einsetzen von Gleichung 62 in 

 58 erhalten und betriigt: 



2c 2 sin a cos a c 2 

 x w = sin 2 u .. .63) 



g & 



Sie erreicht ihren gro'Bten Wert, wenn sin 2 a 

 = 1 ist, also a = = 45, das ist also der giinstigste 

 Elevationswinkel fiir weiten Wurf; wenn wir 

 iiberall = 90 setzen, erhalten wir die ent- 

 sprechenden Formeln fiir vertikalen Wurf, wenn 

 wir u = setzen, die fiir den horizontalen. 



11. Bewegung des starren Korpers. 

 Die wichtigsten Arten der Bewegung eincs 

 starren Korpers sind: 



1. Die Tran slationsbewegung, 

 von der wir schon im Anfang des vorigen 

 Abschnittes gesprochen haben. 



2. Die Rotationsbewegung 

 (D r e h b e w e g u n g) , bei der eine sub- 

 stantielle Gerade des Korpers, die Rota- 

 tionsachse, Punkt fiir Punkt ihre Lage 

 beibehalt und daher alle anderen substan- 

 tiellen Punkte des Korpers Kreise um diese 

 Gerade beschreiben. 



3. Die S c h r a u b e n b e w e g u n g , 

 die aus einer geradlinigen gleichformigen 

 Translation und einer gleichformigen Rotation 

 zusammengesetzt ist, die um eine znr Rich- 

 tung der Translation parallele Achse erfolgt; 

 dabei beschreiben die nicht auf der Achse 

 gelegenen Punkte desKorpers Schraubenlinien. 



Wenn wir nur Anfangs- und Endlage 

 einer Bewegung, also nur die Verschiebung 

 des Korpers, ins Auge fassen, so kann jede 

 beliebige Verschiebung auch als Re suit at 

 einer Schraubenbewegung erhalten werden. 



12. Bewegungsfreiheit. Freiheitsgrade. 

 Man konnte jeden Korper in jede be- 

 liebige Lage bringen , wenn man iiber 

 die Mittel verfiigte, alle Hindernisse zu 

 uberwinden, alle Fesseln zu zerbrechen. Fiir 

 die Theorie wird es sich aber als vorteil- 

 haft erweisen, gewisse Hindernisse im vor- 

 hinein als unuberwindlich anzusehen. Sol- 

 chen Hindernissen sind wir schon beim Begrif f 

 der starren Verbindung und des starren 

 Korpers (Abschnitt 2) begegnet, wo die ein- 

 zebien substantiellen Punkte eines Korpers 

 ihre Entfernimg voneinander nicht andern 

 konnten. Aelmli. r ;hes liegt bei Korpern vor, 



durch die etwa eine festgehaltene Achse ge- 

 steckt ist, so daB sie nichts tun konuen, als 

 sich um diese Achse drehen. Man sagt: 

 Ein Ko'rper otler ein System von Korpern 

 kann Bewegungsbedingungen unter- 

 worfen sein. Je weniger Bedingungcn die 

 Bewegung unterworfen ist, dest-o groBer ist 

 seine Bewegungsfreiheit. Die 

 Bewegungsfreiheit wird gemessen durch die 

 Anzahl der Zahlenangaben, die man machen 

 muB, um eine Lage des Korpers oder Korper- 

 systems unter alien mit den Bedingungen 

 vertraglichen Lagen festzulegen. Dicsc An/ahl 

 nennt man die Zahl der Freiheitsgrade 

 des Systems. So kann man die Lage eines 

 einzelnen substantiellen Punktes durch tlrei 

 Zahlen eindeutig festlegen (die Koordinaten). 

 Man sagt: Ein frei beweglicher Punkt hat 

 drei Freiheitsgrade. n Punkte haben 3n 

 Freiheitsgrade. Wenn etwa ein substantieller 

 Punkt P sich nur langs einer Flache bewegen 

 kann, so hat er nur zwei, langs einer Linie 

 nur ein en Freiheitsgrad. Ein starrer Korper 

 hat sechs Freiheitsgrade. Denn um seine 

 Lage festzulegen, muB die Lage von dreien 

 seiner substantiellen Punkte festgelegt sein. 

 (Waren nur zwei festgelegt, ko'nnte er sich 

 noch um die sie verbindende Gerade als 

 Achse drehen.) Dazu gehoren neun Ko- 

 ordinaten. Da aber die drei Entfernungen 

 der Punkte voneinander bekannt sind, lassen 

 sich diese neun Koordinaten durch sechs 

 GroBen ausdriicken. 



Ein System, das eineu einzigen Freiheits- 

 grad besitzt, nennt man z w a n g 1 a u f i g. 

 Beispiele sind etwa: ein um eine ruhende 

 Achse rotierender Korper, eine Kugel, die 

 sich in einer engen Rhine bewegt , das 

 Kurbelgetriebe einer Dampfmaschine. 



Die Bedingungen , die der Bewegung sub- 

 stantieller Punkte auferlegt sind, lassen sich 

 haufig durch Bedingungsgleichungen zwischen 

 den Koordinaten dieser Punkte ausdriicken. 



Wenn etwa die Entfernung zweier Punkte 

 PI (X], 7i, z,) und P 2 (x,, y 2 , z 2 ) den unver- 

 iinderlichen Wert r behalten soil, weil sie durch 

 eine starre Stange verbunden sind, so bedeutet 

 das, daB die Gleichung: 



(xa-xja + (y 2 -y,) 2 + (z 2 -z,) 2 = r 2 

 bestehen muB, wie sich P, und P 3 auch bewegen. 

 Jede Bedingungsgleichung erniedrigt die Anzahl 

 der Freiheitsgrade um 1. Es haben n freie be- 

 wegliche Punkte 3n Freiheitsgrade; wenn aber 

 s Bedingungsgleichungen bestehen, nur mehr 

 3n -s Grade. 



Manche Bewegungsbedingungen lassen sich 

 auch nur durch Ungleichungen aus- 

 driicken; wenn etwa zwei Punkte durch einen 

 biegsarnen Faden von der Lange 1 verbunden sind, 

 so kann ihre Entfernung niemals groBer als 1 

 werden; dies wird ausgedruckt durch die Um- 

 gleichung: 



(s 2 ^x,)2 + (y 3 - y] ) 2 + (z.-z,) 2 ^! 2 . 



13. Periodische und stationare Be- 



