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Bewegvmg (Allgemene Bewegungslehre) 



legen, dann lautet das Newton sche 

 Kraftgesetz: 



m ro x = &x, m toy = t y , m z = z 65) 

 Wenn die Kraftkomponenten als Funktionen 

 der Lage des Punktes zu den auBeren Kor- 

 pern oder anderswie gegeben sind, nennt man 

 diese Gleichungen die Newton schen Be- 

 wegungsgleichungen. 



" In der Sclireibweise der Differentialrechnung 

 schreibt man sie: 



d 2 x 



= = x, m 



d 2 v 



d 2 z 

 m - = 



Wenn die Bewegung gegeben ist, laBt 

 sicli die Kraft immer berechnen, indem man 

 die Beschleimigung berechnet. Als Beispiel 

 betrachten wir erstens den freien Fall. Hier 

 ist die Beschleunigung bekanntlich konstant 

 und hat fur alle Kb'rper denselben Wert g, 

 die Kraft also den Wert mg; es ist also die 

 Kraft, die von der Schwere auf jeden Korper 

 ausgeiibt wird, proportional seiner Masse; 

 daher kommt die scheinbare Ausnahme, daB 

 die Schwerkraft alien Korpern, oluie Riick- 

 sicht auf ihre Masse, dieselbe Beschleu- 

 niguug erteilt, oder eigentlich exakt ge- 

 sprochen: diese Erfahrungstatsache driicken 

 wir eigentlich aus, wenn wir sagen: die 

 Schwerkraft wachst mit der Masse. 



Wir wollen ferner die von der Sonne auf einen 

 Planeten ausgeiibte Kraft berechnen. Der Planet 

 bewege sich, so nehrnen wir naherungsweise 

 an, in einem Kreise vom Radius r gleichformig 

 urn die Sonne, die Umlaufszeit sei T, dann ist 

 seine Geschwindigkeit: 



Neben dem genannten Problem, zu einer 

 gegebenen Bewegung die Kraft zu linden, 

 ist auch noch das umgekehrte Problem zu 

 Ibsen. Wenn die Kraft und clamit die Be- 

 schleunigung gegeben ist, soil die Bewegung 

 ! bestimmt werden. Dieses Problem ist oft 

 recht schwierig zu behandeln; wir haben 

 beim freien Fall (s. oben II 8) ein einf aches 

 Beispiel dafiir gegeben. 



Es erfordert im einfachsten Fall die Inte- 

 gration einer Differentialgleichung zweiter Ord- 

 nung; dabei miissen Anfangslage und Anfangs- 

 gescliwindigkeit gegeben sein, ura die beiden 

 Integral ionskonstanten zu bestimmen. 



17. Satz vom Krafteparallelogramm. 

 Von einer Kraft , die irgendwo herrscht, 

 sagt man, daB sie von einem bestimmten 

 Korper ausgeiibt wird, wenn sie bei Ent- 

 fernung dieses Kbrpers verschwindet. Es 

 mbgen auf einen materiellen Punkt mit der 

 Masse m vom Korper K l5 die Kraft ,, vom 

 Korper K 2 die Kraft $, ausgeiibt werden; 

 d. h. der Punkt erfiihre, wenn jeder der 

 Korper einzeln vorhanden ware , die Be- 

 schleunigungen 



^1 ^2 



lt>! = 



V = 



T 



seine Beschleunigung ist gegen die Sonne ge- 

 richtet und ist im Abschn. 8, Gl. 49 gegeben; die 

 Kraft hat also den Wert: 



K = 



mv* 



4m n 2 r 



"J2 



Nach dem dritten Ke piers chen Gesetze sind 

 nun die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten 

 proportional den dritten Potenzen ihrer Abstande 



von der Sonne ; es hat also - einen fiir alle 

 Planeten konstanten Wert; wir setzen etwa: 



T2 



- = C 



Wenn wir das in die vorige Formel einsetzen, 

 erhalten wir: 



4m 7t 2 1 



K= -Q- IF- 



d. h. die Kraft ist verkehrt proportional dem 

 Quadrate des Abstandes; wir erhalten so das 

 Newtonsche Gravitationsgesetz. 



SchlieBlich sei noch erwahnt, daB auch 

 das Kraftgesetz zur vblligen Bestimmtheit 

 einen bestimmten Bezugskorper braucht. 

 Es ist hier dasselbe Inertialsystem 

 wie beim Tragheitsgesetz zu wahlen. 



m 



oder trj 2 = 



m 



Die Erfahrung zeigt nun, daB die Beschleu- 

 nigung des Punktes bei Anwesenheit beider 

 Korper die Summe der Einzelbeschleuni- 

 gungen ist, natiirlich die Vektorsumme ; 



oil ol 



also: to == h)i + it) 2 = - + 



m 



m 



Daraus folgt: 



mit) == 



d. h. der Punkt erhalt eine Beschleunigung, 

 als wiirde eine Kraft auf ilm wir ken, 

 welche der Vektorsumme der beiden Einzel- 

 krafte gleich ist; diese Kraft: 



w =- Sli ~i~ ^2 



nennt man die B,esultierende von ^ l 

 und &.,, diese wieder die Komponenten 

 von ^". Dieser Satz heiBt: ,,Satz von 

 Kraf tepar allelogr ainm", weil nach 

 der Definition der Vektoraddition ^ die 

 Diagonale ernes Parallelogramms ist, dessen 

 Seiten t und ^ 2 sind. 



In den Komponenten geschrieben lautet die 

 Gleichung: 



= 4" 



Als Beispiel kann etwa die Bewegung des 

 Mondes unter dem EinfluB von Erde und Sonne 

 dienen. Die von beiden ausgeiibten Anziehungs- 

 krafte addieren sich. Die Bewegung dreier ein- 

 ; ander nach dem Gravitationsgesetz anziehenden 

 Korper zu berechnen ist Gegenstand des soge- 

 nannten Dreikorperproblems. Seine Losung ist 

 eine rein mathematische Aufgabe. 



