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Bewegung (AUgemeine Bewegungslehre) 



gehort zu jeder Kraft im System eine gleiche, 

 aber eutgegengesetzt gerichtete. Die Vektor- 

 summe aller Krafte ist also Null. Nach dem 

 vorigen Abschnitt ist daher auch die Aende- 

 rung des gesamten Impulses des Systems 

 Null, d. h. dieser Gesamtimpuls bleibt kon- 

 stant, man spricht von dem Gesetze der 

 Erhaltung des Impulses oder 

 der Bewegungsgrb'Be, das in jedem 

 System gilt, in dem nur sogenannte innere 

 Krafte wirken , die dem dritten New- 

 ton schen Gesetze gehorchen. Ein solches 

 System ist etwa das Planetensystem. Man 

 kann das Gesetz schreiben 



mit>! + m 2 fc 2 + rcia&s + konstant. 



20. Schwerpunkt. Bewegung des Schwer- 

 punktes. Wir betrachten zwei Punkte von 

 den Massen m 1 und m 2 . Dann ist ihr Ge- 

 samtimpuls: 



Wenn wir uns auf der Verbindungslinie der 

 beiden Massen einen Massenpunkt M denken, 

 der die Masse nil + m 2 hat und dessen Ent- 

 fernung von n^ und m 2 diesen Massen fort- 

 wahrend verkehrt proportional ist (der also 

 der groBeren Masse nalier liegt), so wird dieser 

 Massenpunkt, wenn n^ und in 2 sich bewegen, 

 ebenf alls in bestimmter Weise sich bewegen und 

 sein Impuls wird dabei dem Gesamtimpuls 

 von nii und m 2 gleich sein. 



Denn: M habe von mi die Entfernung e ]? von 

 m 2 die Entfernung e 2 ,dann ist lautVoraussetzung : 



m,e, = m 2 e. 2 



und : e T + e 2 = e , 



wenn e die Entfernung zwischen m, und m 2 ist; 

 daraus folgt: 



e, = 



m 3 



+ rn 2 



Daraus sieht man welter: wenn r 3 und r 2 die 

 Lagevektoren von m, und m 2 sind, so ist der 

 Lagevektor r von M gegeben durch: 



m 2 r 



22 



m 2 



oder: 



+ m 2 )r = 



+ m 2 r 2 . 



Nun ist die Aenderung der linken Seite 

 laut wahrend eines kleinen Zeitintervalls 

 Definition der Geschwindigkeit gleich dem 

 Impuls von M, die der rechten Seite gleich dem 

 Impuls von m x und m 2 . 



Den Punkt M nennt man den Massen- 

 mittelpunkt der Massen n^ und m 2 , oder 

 auch von einer speziellen Anwendung her den 

 Sch werpunkt. Der Schwerpunkt ist fur 

 jede augenblickliche Konstellation der Massen 

 definiert und andert seine Lage mit dieser. 

 Man kann die Definition auf auch auf n 

 Massenpunkte erweitern : Es mb'gen r l5 

 r 2 ...r n die Lagevektoren der Massen mi,m ? , 

 ...,m n sein; claim heiBt der Punkt M mit 

 dem Lagevektor: 



-_ + m 2 r 2 + ... + m n rn ?4 



nix + m 2 + ...+ m n 



der Schwerpunkt. Denkt man sich nun 

 die Gesamtmasse nix + m 2 + .. .m n in M 

 vereinigt, so ist der Impuls dieser Masse M 

 gleich dem Gesamtimpuls aller Massen: m x , 

 m 2 , . .,m n . 



Drucken wir die Lage der Massen durch ihre 

 Koordinaten x,, y,, z, usw. aus, so hat der 

 Schwerpunkt die Koordinaten: 





y = 



z = 



+ in, +...-f m n 

 y 2 +... + m n y n 

 [Q! +...+ ni n 

 5 2 +...+ m n z n 

 f m, +...- 



.75) 



Sind die Massen kontinuierlich iiber einen Korper 

 verteilt und enthalte das Volumelement dv die 

 Masse pdv (Q ist dann die Dichte), so sind die 

 Koordinaten (, i], ) des Schwerpunktes gegeben 

 durch : 



/'P x dv 



J'Q dv 

 /Q y dv 



/p z dv 



76) 



Weun nur innere Krafte wirken, bleibt 

 der Impuls der im Schwerpunkt vereinigt 

 gedachten Massen durch alle Zeiten konstant, 

 da er ja gleich dem Gesamtimpuls des Systems 

 ist, dessen Erhaltung wir bewiesen haben. Es 

 muB daher der Schwerpunkt eines Systems 

 von Massen, die nur aufeinander wirken, 

 eine konstante Geschwindigkeit beibehalten; 

 d. h., wenn er einmal ruhte, bleibt seine 

 Ruhe, wenn er sich einmal bewegte, Richtung 

 und Betrag der Geschwindigkeit erhalteu. 

 Kurz: fiir den Schwerpunkt eines Massen- 

 systems gilt das Tragheitsgesetz. Man nennt 

 diesen Satz den Schwerpunktssatz; 

 er ist die unmittelbare Folge des Satzes der 

 Gleichheit von Aktion und Reaktion. 



Ein wichtiges Beispiel bildet unser Sonnen- 

 systern. Sein Schwerpunkt, der nahezu mit der 

 Sonne zusammenfallt, kann nur ruhen oder sich 

 gleichforrnig geradlinig bewegen; als Bezugs- 

 system ist dabei der Fixsternhimmel zu nehmen, 

 Wollen wir den Schwerpunktssatz auf die ge- 

 samte Sternenwelt anwenden, so kommen wir, 

 selbst wenn wir die Aiizahl der Sterne als endlich 

 annehmen, in Schwierigkeiten. Denn indem 

 wir die Bewegung der Fixsteme berechnen, 

 verlieren wir unser Bezugssystem und wir wissen 

 nicht mehr, wo eigentlich das Fundamental- 

 system zu suchen ist. 



Die Analogie zwischen einem freien 

 Punkt und dem Schwerpuukt eines Massen- 

 systems geht aber noch weiter. AuBer dem 

 Tragheitsgesetz laBt sich auch das Kraftgesetz 

 iibertragen. 



