Bewegung (Allgemeine Bewegungslehre) 



Man bezeichnet nun auch allgemein, nicht 

 nur bei der Kreisbewegung, die gegen den Krfim- 

 mungsmittelpunkt der Balm gerichtete Kompo- 

 nente der Tragheitskraft als Zentrif ugalkraft ; 

 sie hat also allgemein, wenn r der Krummungs- 



mv 2 

 radius ist, den Betrag - t 



23. Das d'Alembertsche Prinzip. 

 Wenn die materiellen Punkte nicht frei 

 beweglich, sondern Bedingungen (s. Ab- 

 schnitt 12) unterworfen sind, so miissen 

 die in jedem Punkt angreifenden Krafte 

 nicht die Vektorsumme Null ergeben, um 

 das System im Gleichgewicht zu erhalten. 

 So bleibt z. B. ein auf eineni horizontalen 

 Tisch liegender schwerer Korper in Ruhe, ob- 

 wohl die Schwerkraft ihn nach abwarts zieht. 

 In der Lehre vom Gleichgewicht (Statik) 

 werden die Eigenschaften auseinandergesetzt, 

 welche die Krafte im allgemeinen Fall be- 

 sitzen miissen, um Gleichgewicht zu er- j 

 zielen. Wir verallgemeinern daher den Be- 

 griff des Gleichgewichtes zwischen wirklichen 

 Kraften und Tragheitskraften, indem wir 

 sagen : wenn ein mechanisches System sich ! 

 beliebig bewegt, so sagen wir, daB die da- 

 durch erzeugten Tragheitskrafte den auBeren j 

 Kraften das Gleichgewicht halten, wenn sie i 

 dies unter Beibehaltung der Bewegungsbe- j 

 dingungen und bei Ersetzung aller Tragheits- 

 krafte durch gleiche wirkliche im Sinne der 

 Statik taten. d'A 1 e m b e r t hat nun das 

 Newton sche Kraftgesetz auf die Falle, 

 wo die Bewegung Bedingungen erfiillen 

 muB, ausgedehnt und das Prinzip auf- 

 gestellt : ein mechanisches System 

 bewegt sich so, daB die durch 

 die Bewegung erzeugten Trag- 

 heitskrafte den die Bewegung 

 erzeugenden auBeren Kraften 

 im oben definierten Sinne das 

 Gleichgewicht halten. Aus diesem 

 Prinzip laBt sich die Bewegung des Systems 

 bestimmen, sobald man die Gleichgewichts- 

 bedingungen kennt. Wir geben im nachsten 

 Abschnitt Beispiele dafiir. 



24. Bewegung auf der schiefen Ebene. 

 Atwoodsche Fallmaschine. Ein mate- 

 rieller Punkt von der Masse m liege auf 

 einer schiefen Ebene vom Neigungswinkel a. 

 Auf ihn wirke in der Richtung der schiefen 

 Ebene nach aufwarts die Kraft K. Diese 

 Kraft K halt der auf den Punkt vertikal 

 nach abwarts wirkenden Schwerkraft mg 

 (wo g die Beschleunigung der Schwere ist, 

 s. Abschnitt 16) dann das Gleichgewicht, 

 wenn: 



K == mg sin a 



ist (vgl. den Artikel ,,G 1 e i c h g e w i c h t"). 

 Wenn keine auBere Kraft auBer der Schwer- 

 kraft wirkt, gleitet der Punkt mit einer 

 Beschleunigung w nach abwarts. Nach 



deni d ' A 1 e m b e r t schen Prinzip ist 

 diese Beschleunigung so groB, daB die 

 ihr entsprechende Tragheitskraft, wenn sie 

 durch eine gleich groBe wirkliche Kraft 

 ersetzt wiirde, den Punkt im Gleich- 

 gewicht erhielte. Die Tragheitskraft hat den 

 Betrag mw und wirkt, weil der Punkt nach 

 unten gleitet, nach oben wie die fruher ge- 

 nannte Kraft K, muB also denselben Betrag 

 haben wie diese. Sie muB also die Gleichung: 



mw == mg sin a 

 erfiillen oder: 



w == g sin a . . . . 80) 



Dadurch ist die Beschleunigung auf der 

 schiefen Ebene mit der beim freien Fall (g) 

 in Beziehung gesetzt; sie ist um so kleiner, 

 je flacher die Ebene ist. 



Ein anderes Mittel zur Verkleinerung der 

 Fallgeschwindigkeit ist die beim Schulunterricht 

 oft ge branch te Atwoodsche Fallmaschine. Sie 

 besteht aus einer festen Rolle, fiber die eine 

 Schnur liiuft, an der auf einer Seite ein Gewicht 

 von der Masse M, auf der anderen ein et\vas 

 gro'Beres M + m hangt. Das groBere Gewicht 

 bewegt sich nach unten, das kleinere nach oben; 

 wir fragen: mit welcher Beschleunigung be- 

 wegen sich die Gewichte ? Wenn Ruhe herrschen 

 sollte, miiBten an beiden Schnuren gleich groBe 

 wirkliche Krafte nach abwarts wirken ; wenn nun 

 Bewegung eintritt, so mussen nach d'Alembert 

 die nach unten wirkenden Sclnverkrafte ver- 

 mehrt um die Tragheitskrafte an beiden Schnuren 

 gleich sein. 



An der Masse M w rkt nach unten die Schwer- 

 kraft Mg und weil die Bewegung nach oben er- 

 folgt, ebenfalls nach unten die Tragheitskraft 

 Mw,, im ganzen also die Kraft M(g + w); an der 

 Masse M + in wirkt nach unten die Schwerkraft 

 (M + m)g; die Tragheitskraft (M + m)w wirkt 

 aber, weil die Bewegung nach unten erfolgt, nach 

 oben, so daB die Gesamtkraft, die nach unten 

 wirkt, (M + m) (g w) betriigt. Es muB also sein- 



M(g + w) = (M + m) (g w) 

 daraus folgt: 



Die Beschleunigung auf der Fallmaschine ist 

 also proportional dem Verhaltnis des Ueber- 

 gewichtes m zum Gesamtgewichte 2M + m, das 

 uberhaupt in Bewegung gesetzt wird. Die in 

 den Lehrbuchern fur diese Formel gegebenen Be- 

 grundungen sind oft wenig fiberzeugend. 



25. Bewegung starrer Korper. Ein 

 starrer Korper ist, wie die Statik lehrt (s. den 

 Artikel ,,Gleichgewicht") dann im Gleich- 

 gewicht, wenn 1. die Vektorsumme aller auf 

 ihn wirkenden Krafte den Wert Null hat, 

 und iiberdies 2. die Vektorsumme der Dreh- 

 momente aller auf ihn wirkenden Krafte 

 ebenfalls den Wert Null hat. Die Be- 

 wegungsgesetze eines starren Kb'rpers konnen 

 wir nun wieder aus den Bedingungen fur 

 das Gleichgewicht nach dem d'Alembert- 

 schen Prinzip bestimmen. Er bewegt sich 



